Численные методы. Корнюшин П.Н. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

26
2.2.4. Принцип сжатых отображений
Пусть R – полное метрическое пространство и пусть для всех элементов этого
пространства определен оператор А "в себя" (результат действия этого оператора – отображение
элементов в элементы того же пространства). Тогда говорят, что оператор А осуществляет сжатое
отображение, если для любых двух элементов x', x'' этого пространства и любого действительного
числа 0<q<1 имеет место неравенство
),'','()'','( xxqAxAx
ρ
ρ
≤
т.е. образы элементов ближе, чем их прообразы. В таких случаях говорят, что оператор А сжимает.
Теорема. Пусть в полном метрическом пространстве R оператор А осуществляет сжатие
отображения "в себя". Тогда оператор А имеет единственную неподвижную точку, т.е. уравнение
Ax=x имеет единственное решение, которое может быть получено как предел последовательности
итераций вида
1−
=
nn
Axx (Точка является неподвижной для оператора, если он переводит ее саму
в себя).
Доказательство
Покажем, что последовательность значений
}
{
,
0
∞
=n
n
x полученная итерированием,
сходится в себе, т.е.
.0),(
,
→
∞→mn
mn
xx
ρ
Будем считать n>m и запишем следующую
последовательность неравенств:
),,()(),(
111,1 −−−−
≤
=
mnmnmn
xxqAxAxxx
ρ
ρ
ρ
),,(),(
2211 −−−−
≤
mnmn
xxqxx
ρ
ρ
………………………………
).,(),(
011
xxqxx
mnmn −+−
≤
ρ
ρ
Перемножив эти неравенства, получим
).,(),(
0
xxqxx
mn
m
mn −
≤
ρρ
Оценим
),,(
0
xx
mn −
ρ
применив n-m раз правило треугольника:
.
1
),(
),()1...(
),(...),(),(),(
01
01
21
012110
q
xx
xxqqq
xxxxxxxx
mn
mnmnmnmnmn
−
<++++≤
≤
+
+
+
≤
−−
−−−−−−−−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Окончательно получаем
),,(
1
),(
01
xx
q
q
xx
m
mn
ρρ
−
≤
т.е. при n>m критерий Коши доказан:
.0),(
,
→
∞→mn
mn
xx
ρ
В силу полноты пространства R (для
любой последовательности в пространстве R, сходящейся в себе, найдется предельный элемент,
принадлежащий этому пространству) существует такой элемент x*, что
*lim xx
n
n
=
∞→
. Используя то
обстоятельство, что оператор А – сжимающий, получим
),(),(
mnmn
xxqAxAx
ρ
ρ
≤
и, следовательно,
,0),(
,
→
∞→mn
mn
AxAx
ρ
т.е. существует
.
lim
n
n
Ax
∞→
Но ,
1+
=
nn
xAx поэтому,
переходя в последнем равенстве к пределу, получаем
,
**
xAx = т.е. x* – решение уравнения, а
значит – неподвижная точка оператора. Покажем, что эта точка единственная. Проведем
доказательство от противного. Предположим, что существует еще одна неподвижная точка
*
' xx ≠
и Ax’=x’. Поскольку
=)',(
*
xx
ρ
),',()',(
**
xxqAxAx
ρρ
≤ а q<1, то получили противоречие, т.е.
x’ не может быть неподвижной точкой. 
                                                                 26


                                   2.2.4. Принцип сжатых отображений

       Пусть R – полное метрическое пространство и пусть для всех элементов этого
пространства определен оператор А "в себя" (результат действия этого оператора – отображение
элементов в элементы того же пространства). Тогда говорят, что оператор А осуществляет сжатое
отображение, если для любых двух элементов x', x'' этого пространства и любого действительного
числа 0m и запишем следующую
                                     n, m →∞

последовательность неравенств:
                                  ρ ( xn , xm ) = ρ ( Axn −1, Axm −1 ) ≤ qρ ( xn −1 , xm −1 ),
                                            ρ ( xn −1 , xm −1 ) ≤ qρ ( xn − 2 , xm − 2 ),
                                              ………………………………
                                              ρ ( xn − m +1 , x1 ) ≤ qρ ( xn − m , x0 ).
        Перемножив эти неравенства, получим
                                               ρ ( xn , xm ) ≤ q m ρ ( xn − m , x0 ).
        Оценим ρ ( xn − m , x0 ), применив n-m раз правило треугольника:
                  ρ ( xn − m , x0 ) ≤ ρ ( xn − m , xn − m −1 ) + ρ ( xn − m −1 , xn − m − 2 ) + ... + ρ ( x1 , x0 ) ≤
                                                                           ρ ( x1 , x0 )
                  ≤ (q n − m −1 + ... + q 2 + q + 1) ρ ( x1 , x0 ) <                       .
                                                                              1− q
        Окончательно получаем
                                                   qm
                                               ρ ( xn , xm ) ≤
                                                         ρ ( x1 , x0 ),
                                                  1− q
т.е. при n>m критерий Коши доказан: ρ ( xn , xm )      
                                                         → 0. В силу полноты пространства R (для
                                                    n, m → ∞

любой последовательности в пространстве R, сходящейся в себе, найдется предельный элемент,
принадлежащий этому пространству) существует такой элемент x*, что lim x n = x * . Используя то
                                                                                                       n →∞
обстоятельство, что оператор А – сжимающий, получим
                                                ρ ( Axn , Axm ) ≤ qρ ( xn , xm )
и, следовательно, ρ ( Axn , Axm ) n  
                                       → 0, т.е. существует
                                    , m→∞                                              lim Ax .    n    Но Axn = xn +1 , поэтому,
                                                                                        n→∞

переходя в последнем равенстве к пределу, получаем Ax* = x , т.е. x* – решение уравнения, а
                                                                                         *

значит – неподвижная точка оператора. Покажем, что эта точка единственная. Проведем
доказательство от противного. Предположим, что существует еще одна неподвижная точка x' ≠ x*
и Ax’=x’. Поскольку ρ ( x* , x' ) = ρ ( Ax* , Ax' ) ≤ qρ ( x* , x' ), а q<1, то получили противоречие, т.е.
x’ не может быть неподвижной точкой.

Страницы