Численные методы. Корнюшин П.Н. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

27
2.2.5. Об одном принципе нахождения сходящихся итерационных процессов
Пусть имеется уравнение
,0)(
=
xf
где x – действительная переменная и пусть на [a,b]
отделен единственный корень x* этого уравнения. Пусть на этом сегменте задана некоторая
непрерывная функция
).(x
ψ
Тогда уравнение вида )()( xfxxx
ψ
−
=
также имеет корень x*.
Принцип получения сходящихся итерационных процессов состоит в следующем. Нужно
уметь так подобрать непрерывную функцию
),(x
ψ
чтобы получившееся уравнение
),(xx
ϕ
=
где
),()( xxx
ψ
ϕ
−= давало сходящийся итерационный процесс.
2.2.6. Метод хорд (секущих) и метод деления пополам
Данный метод является одним из методов, реализующих принцип получения сходящегося
итерационного процесса. Пусть единственный корень x* уравнения
0)( =xf отделен на [a,b].
Предположим, что
)(xf изменяется на [a,b] монотонно.
Заменим кривую
)(xfy = хордой, проходящей через точки ))(,( afa и )).(,( bfb В
качестве первого приближения корня уравнения
0)(
=
xf
возьмем точку пересечения этой хорды
с осью x. Запишем уравнение этой хорды:
,
)()(
)(
ab
ax
afbf
afy
−
−
=
−
−
откуда получаем
).()(
)()(
afax
ab
afbf
y +−
−
−
=
Подставляя в последнем выражении
,0,
1
=
=
yxx
получаем
).(
)()(
1
af
afbf
ab
ax
−
−
−=
Полагая теперь
ax =
0
и учитывая, что ,0)(,0)( >
<
bfxf
i
имеем
).(
)()(
1
1
1
1 −
−
−
−
−
−
−=
n
n
n
nn
xf
xfbf
xb
xx (8) 
                                                   27


       2.2.5. Об одном принципе нахождения сходящихся итерационных процессов

        Пусть имеется уравнение f ( x) = 0, где x – действительная переменная и пусть на [a,b]
отделен единственный корень x* этого уравнения. Пусть на этом сегменте задана некоторая
непрерывная функция ψ ( x). Тогда уравнение вида x = x − ψ ( x) f ( x) также имеет корень x*.
        Принцип получения сходящихся итерационных процессов состоит в следующем. Нужно
уметь так подобрать непрерывную функцию ψ ( x), чтобы получившееся уравнение x = ϕ ( x), где
ϕ ( x) = x − ψ ( x), давало сходящийся итерационный процесс.


                    2.2.6. Метод хорд (секущих) и метод деления пополам

       Данный метод является одним из методов, реализующих принцип получения сходящегося
итерационного процесса. Пусть единственный корень x* уравнения f ( x) = 0 отделен на [a,b].
Предположим, что f ( x) изменяется на [a,b] монотонно.




       Заменим кривую y = f ( x) хордой, проходящей через точки (a, f (a )) и (b, f (b)). В
качестве первого приближения корня уравнения f ( x) = 0 возьмем точку пересечения этой хорды
с осью x. Запишем уравнение этой хорды:
                                           y − f (a)    x−a
                                                      =      ,
                                         f (b) − f (a) b − a
откуда получаем
                                         f (b) − f (a)
                                   y=                     ( x − a) + f (a).
                                              b−a
       Подставляя в последнем выражении x = x1 , y = 0, получаем
                                                       b−a
                                      x1 = a −                       f (a).
                                                  f (b) − f (a)
       Полагая теперь x 0 = a и учитывая, что f ( x i ) < 0, f (b) > 0, имеем
                                               b − x n −1
                          x n = x n −1 −                        f ( x n −1 ). (8)
                                           f (b) − f ( x n −1 )

Страницы