Численные методы. Корнюшин П.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

25
=
=
=
.0),...,,(
....................
,0),...,,(
,0),...,,(
21
212
211
kk
k
k
P
P
P
ξξξ
ξξξ
ξξξ
(3)
Преобразуем эту систему к виду, удобному для использования итерационного метода:
=
=
=
).,...,,(
....................
),,...,,(
),,...,,(
21
2122
2111
kkk
k
k
ξξξϕξ
ξξξϕξ
ξξξϕξ
(4)
Выбрав начальное приближение
),...,,(
)0()0(
2
)0(
1 k
ξξξ
, первое приближение будем искать в
соответствии с выражением
=
=
=
).,...,,(
..........................
),,...,,(
),,...,,(
)0()0(
2
)0(
1
)1(
)0()0(
2
)0(
12
)1(
2
)0()0(
2
)0(
11
)1(
1
kkk
k
k
ξξξϕξ
ξξξϕξ
ξξξϕξ
(5)
Аналогично получаем следующие приближения.
Покажем, что, используя понятие функционального метрического пространства, можно
данную задачу свести к задаче, рассмотренной в предыдущем разделе.
Пусть R – полное метрическое пространство, каждый элемент которого x задается
упорядоченным набором k чисел (действительных или комплексных)
).,...,,(
21 k
x
ξ
ξ
ξ
Введем в
пространстве метрику следующего вида: для любых двух элементов
},,...,,{'
''
2
'
1 k
x
ξξξ
= },,...,,{''
''''
2
''
1 k
x
ξξξ
= пространства R
.||),(
'''
1
21
max
jj
kj
xx
ξξρ
−=
≤≤
(6)
Эта метрика хороша тем, что дает максимальную "невязку" между левой и правой частями
уравнения.
Введем вектор-функцию
),(x
ϕ
являющуюся элементом пространства R. Координаты этой
функции определятся следующим образом:
)},(),...,(),({)(
21
xxxx
k
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
где
).,...,,()(
21 kjj
x
ξ
ξ
ξ
ϕ
ϕ
=
Используя введенное обозначение в метрическом пространстве, систему уравнений (4)
можно переписать в следующем виде:
).(xx
ϕ
=
(7)
Зададим нулевое приближение
},,...,,{
)0()0(
2
)0(
10
k
x
ξξξ
=
а также число .0>
δ
Теорема. Пусть уравнение (7), нулевое приближение
0
x и
δ
удовлетворяют следующим
условиям:
1) для любых
,'',' xx принадлежащих области отделения корня радиуса δ, справедливо
),'','())''(),'(( xxxx
ρ
ϕ
ϕ
ρ
≤ где 0<q<1;
2) имеет место неравенство
,)1/(
δ
≤
− qm где )).(,(
00
xxm
ϕ
ρ
=
Тогда итерационный процесс вида
)(
1−
=
nn
xx
ϕ
сходится, и }lim{
n
x является
единственным корнем уравнения (7) в заданном шаре. Обозначая этот предел через x*, можно
утверждать, что скорость сходимости итерационного процесса определяется неравенством
).1/(),(
*
qmqxx
n
n
−≤
ρ
Доказательство этой теоремы в точности повторяет доказательство предыдущей с заменой
|'''| xx −
на
.)'','( xx
ρ
                                                                           25



                                    P1 (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ) = 0,
                                    P (ξ , ξ ,..., ξ ) = 0,
                                    2 1 2                  k
                                                                                           (3)
                                         ....................
                                    Pk (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ) = 0.
         Преобразуем эту систему к виду, удобному для использования итерационного метода:
                                   ξ 1    = ϕ 1 (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ),
                                   ξ      = ϕ 2 (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ),
                                    2
                                                                                           (4)
                                           ....................
                                   ξ k   = ϕ k (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ).
       Выбрав начальное приближение (ξ 1( 0 ) , ξ 2( 0 ) ,..., ξ k( 0 ) ) , первое приближение будем искать в
соответствии с выражением
                                   ξ 1(1)    = ϕ 1 (ξ 1( 0) , ξ 2( 0 ) ,..., ξ k( 0) ),
                                    (1)
                                   ξ 2       = ϕ 2 (ξ 1( 0) , ξ 2( 0 ) ,..., ξ k( 0) ),
                                                                                           (5)
                                               ..........................
                                   ξ k(1)   = ϕ k (ξ 1( 0 ) , ξ 2( 0 ) ,..., ξ k( 0) ).
           Аналогично получаем следующие приближения.
           Покажем, что, используя понятие функционального метрического пространства, можно
данную задачу свести к задаче, рассмотренной в предыдущем разделе.
           Пусть R – полное метрическое пространство, каждый элемент которого x задается
упорядоченным набором k чисел (действительных или комплексных) x(ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ). Введем в
пространстве               метрику              следующего          вида:  для любых двух элементов
x' = {ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k }, x' ' = {ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k }, пространства R
         '    '         '               ''   ''        ''


                                    ρ ( x1 , x 2 ) = max | ξ 'j' − ξ 'j | .                 (6)
                                                            1≤ j ≤ k

       Эта метрика хороша тем, что дает максимальную "невязку" между левой и правой частями
уравнения.
       Введем вектор-функцию ϕ (x), являющуюся элементом пространства R. Координаты этой
функции определятся следующим образом:
                ϕ ( x) = {ϕ 1 ( x), ϕ 2 ( x),..., ϕ k ( x)}, где ϕ j ( x) = ϕ j (ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k ).
      Используя введенное обозначение в метрическом пространстве, систему уравнений (4)
можно переписать в следующем виде:
                               x = ϕ (x).            (7)
         Зададим нулевое приближение x 0 = {ξ 1( 0 ) , ξ 2( 0) ,..., ξ k( 0 ) }, а также число δ > 0.
        Теорема. Пусть уравнение (7), нулевое приближение x 0 и δ удовлетворяют следующим
условиям:
1) для любых x' , x' ' , принадлежащих области отделения корня радиуса δ, справедливо
    ρ (ϕ ( x' ), ϕ ( x' ' )) ≤ ρ ( x' , x' ' ), где 0

Страницы