Численные методы. Корнюшин П.Н. - 23 стр.

                                                          23


       Это условие называется условием Липшица. Оно является более широким, чем условие
дифференцируемости функций, т.е. функции, имеющие производную, входят в класс функций,
удовлетворяющих условию Липшица. Если функция дифференцируема и ее производная ≤ q, то
она удовлетворяет условию Липшица. Действительно, применяя формулу Тейлора, можно
записать
                     ϕ ( z ' ) − ϕ ( z ' ' ) = ϕ ' [ z '+Θ( z ' '− z ' )]( z ' '− z ' ),0 < Θ < 1,
или, переходя к модулю в левой и правой частях, и, обозначая максимум модуля производной
через q, получаем условие Липшица.
       Качественно процесс нахождения корня методом итераций продемонстрирован на
следующих рисунках 2.3 и 2.4, на которых представлены функции, имеющие соответственно
положительное и отрицательное значения производных.




      При ϕ ' ( x) > 0 последовательность x 0 , x1 ,... монотонно сходится к корню x * , а при
ϕ ' ( x) < 0 итерационный процесс "закручивается" вокруг корня x * . Корень находится между
двумя соседними значениями x k , x k +1 .
       На рисунке 2.5 продемонстрировано, каким образом сказывается невыполнение условия
Липшица.