Численные методы. Корнюшин П.Н. - 21 стр.

                                                               21


        Пусть P ( z ) = 0 можно представить в виде
                             P ( z ) = Q( z ) + ε ( z ), где ε ( z ) << Q( z )
и пусть значения корней Q( z ) известны. Тогда корни P ( z ) должны находиться вблизи корней
Q( z ).
        Пример.
                                    0,001x 3 + x 2 − 5 x + 6 = 0 .
        Обозначив Q( x) = x 2 − 5 x + 6, ε ( x) = 0,001x 3 , получим (как следует из анализа рисунка
2.2) небольшой сдвиг корней.




         2.2.2. Вычисление значений корня с заданной точностью. Метод итераций

       Будем считать, что первая задача (задача отделения корней) решена, т.е. выделена область,
в которой P( z ) = 0. Требуется найти в ней корень с любой точностью. Уравнение преобразуем к
виду
                          z = ϕ ( z ),                              (1)
например, с помощью следующего приема:
                              z = z + cP( z ), c = const ≠ 0.
        В выделенной области назначим приближение z 0 – нулевое приближение корня.
Следующие приближения корня находим так:
                             z1 = ϕ ( z 0 ), z 2 = ϕ ( z1 ),..., z n = ϕ ( z n −1 ).       (2)
        Предположим, что последовательность {z n }n = 0 сходится к некоторому z * , и что функция
                                                                     ∞


ϕ ( z ) непрерывна. Перейдем в (2) к пределу:
                        z * = lim z n = lim ϕ ( z n −1 ) = ϕ (lim z n −1 ) = ϕ ( z * ).
                                 n →∞           n→∞                           n→∞
       Если указанный итерационный процесс сходится, то предел последовательности является
решением исходного уравнения.
       При рассмотрении задачи в комплексной плоскости областью отделения корня является
круг радиуса δ , а z o – центром этого круга.
       Теорема. Пусть уравнение z = ϕ ( z ) и радиус области отделения корня δ удовлетворяют
следующим условиям:
1) для любых двух точек z ' и z ' ' , находящихся в области | z − z 0 |≤ δ , имеет место неравенство
                                          | ϕ ( z ' ) − ϕ ( z ' ' ) |≤ q | z '− z ' ' |,