Численные методы. Корнюшин П.Н. - 20 стр.

                                                20




            Модуль 2. Решение уравнений и задачи интерполяции

 2.2. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений
       Задача численного решения уравнения распадается на две:
1) задача отделения корней – нахождение областей, которым принадлежат корни уравнений;
2) задача численного нахождения приближенных значений корня (с заданной степенью
   точности).



                               2.2.1. Задача отделения корней

      Существует несколько методов отделения корней уравнения.
      1. Главный метод – знание свойств функций, входящих в уравнение. Например, в
выражении
                                        x 2 − 3x + 5
                                                         =0
                                       5 + ∑k =1 x 2 k
                                               25


нет необходимости рассматривать знаменатель, т.к. он никогда не обращается в нуль.
       2. Графические методы отделения корня
       а) На вещественной оси (построение таблицы значений функции). Пусть дана функция
                                    P ( x) = 0,−∞ < x <+ ∞ .
        Т.к. ось бесконечна, необходимо построение провести в два этапа. На первом разбивают
сегмент [-1,1] на сколь угодно малые части и получают значения функции в точках разбиения. На
втором этапе осуществляют замену переменной t = 1 / x , что приводит к следующему
преобразованию интервалов: [1,+ ∞ ) → [1,0) и (- ∞ ,-1] → (0,-1], т.е. снова получаем сегмент [-
1,1], возвращаясь к первому этапу.
        б) Функция комплексной переменной P ( z ) = 0. Поскольку z = x + iy , выделяют
действительную и мнимую части функции P ( z ) : P ( z ) = Q( x, y ) + iL( x, y ), где Q и L
вещественны. Комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда Q = 0 и L = 0 , т.е.
задача свелась к поиску корней вещественных функций. Эти кривые строятся в декартовой
системе координат, где выделяются области пересечения кривых Q( x, y ) = 0 и L( x, y ) = 0, как
показано на рис.2.1.




       3. Метод малого параметра