Численные методы. Корнюшин П.Н. - 22 стр.

                                                                     22


   где q – вещественное число из интервала (0,1);
2) имеет место неравенство
                                                 m
                                                     ≤ δ , где m =| z 0 − ϕ ( z 0 ) | .
                                                1− q
       Тогда последовательность приближенных значений корня {z n } сходится, и предел
последовательности принадлежит заданной области отделения корня. Кроме того, скорость
сходимости определяется следующим неравенством:
                                                                           mq n
                                                          | z n − z * |≤        .
                                                                           1− q
      Доказательство
      Формально доказательство сводится к доказательству справедливости следующей
формулы:
                          | z k − z k −1 |≤ mq k −1 для любого k = 1,2,....
      Проведем доказательство по индукции.
      1. База индукции. Покажем, что формула справедлива при k = 1 :
                                          | z1 − z 0 |=| ϕ ( z 0 ) − z 0 |= m.
       2. Индукционный шаг. Пусть формула верна для k = n. Докажем, что она верна для
k = n + 1, т.е. | z n +1 − z n |≤ mq n . Из справедливости формул для k = 1,2,..., n следует, что все
{z k }nk =1 находятся в круге выделения корня. Докажем это для любого k , например, для k = n :
                         | z n − z 0 |=| z n − z n −1 + z n −1 − z n − 2 + z n − 2 − ... − z1 + z1 − z 0 |≤
                                                                                                                     1
           ≤| z n − z n −1 | + | z n −1 − z n − 2 | +...+ | z1 − z 0 |≤ mq n −1 + mq n − 2 + ... + m ≤ m                 ≤δ.
                                                                                                                    1− q
          Итак, любая точка z k , k = 1,2,..., n ,не выходит из круга выделения корня. Рассмотрим
          | z n +1 − z n |=| ϕ ( z n ) − ϕ ( z n −1 ) |≤ q | z n − z n −1 |≤ mq n .
          Индукция закончена. Доказали, что неравенство | z k +1 − z k |≤ mq k справедливо при любых
k.
          Покажем теперь, что для последовательности                                {z k }∞k =0   выполняются необходимый и
достаточный признаки Коши существования предела: ∀ε > 0∃N : n > N , ∀p ⇒| z n + p − z n |< ε , т.е.
последовательность, сходящаяся в себе, сходится. Оценим разность
        | z n + p − z n |=| z n + p − z n + p −1 + z n + p −1 − ... + z n +1 − z n |≤| z n + p − z n + p −1 | +...+ | z n +1 − z n |≤
                                                                             m n      m N
                            ≤ m(q n + p −1 + q n + p − 2 + ... + q n ) ≤         q ⇒      q ≤ε .
                                                                            1− q     1− q
          Признак Коши выполняется, т.е. существует такая точка z * , что z * =                                      lim z
                                                                                                                      n →∞
                                                                                                                               n   . Т.к. все

элементы последовательности принадлежат кругу | z − z 0 |≤ δ , то предел также лежит внутри
этого круга. Докажем справедливость формулы скорости сходимости:
                                                                  m n                    m n
                              lim | z
                               p →∞
                                         n+ p   − z n |≤ lim
                                                          p →∞   1− q
                                                                      q ⇒| z n − z * |≤
                                                                                        1− q
                                                                                             q .

          Покажем, что уравнение имеет единственное решение в круге радиуса δ .
          Проведем доказательство от противного. Пусть, кроме решения z * существует решение
z ≠ z * . Тогда | z − z * |=| ϕ ( z ) − ϕ ( z * ) |≤ q | z − z * |, что приводит к противоречию, т.к. q < 1.
Итак, решение единственно.
       Обсудим условия теоремы.
       При | z − z 0 |≤ δ ⇒| ϕ ( z ' ) − ϕ ( z ' ' ) |≤ q | z '− z ' ' | .