Численные методы. Корнюшин П.Н. - 34 стр.

                                                                                   34



                                                   a0ϕ 0 ( x0 ) + a1ϕ1 ( x0 ) + ... + anϕ n ( x0 ) = α 0 ,
                                                    a ϕ ( x ) + a ϕ ( x ) + ... + a ϕ ( x ) = α ,
                                                    0 0 1                1 1 1                    n n      1         1
                                                   
                                                      .......... .......... .......... .......... .......... .........
                                                    a0ϕ 0 ( xn ) + a1ϕ1 ( xn ) + ... + anϕ n ( xn ) = α n
с неизвестными a0, a1,…, an должна иметь решение. Последняя задача эквивалентна тому, что
главный определитель этой системы
                                                  ϕ 0 ( x 0 ) ϕ 1 ( x 0 ) ... ϕ n ( x 0 )
                                                  ϕ 0 ( x1 ) ϕ 1 ( x1 ) ... ϕ n ( x1 )
                                                                                                         ≠0              (1)
                                                  ........... ............ ... ...........
                                                  ϕ 0 ( x n ) ϕ 1 ( x n ) ... ϕ n ( x n )
должен быть отличен от нуля при любых различных {x i }i = 0 на [a,b].
                                                                                                    n


      Покажем, что необходимое и достаточное условие того, чтобы выполнялось (1)
заключается в следующем: система функций ϕ j ( x)                              {         } n
                                                                                             j =0
                                                                                                    должна быть системой Чебышева.

                      {
            Пусть ϕ j ( x)           }
                                     n
                                         j =0
                                                есть Т-система. Покажем, что выполняется (1). Предположим противное.
Тогда между столбцами определителя существует линейная зависимость, т.е. найдутся числа
                               n
{bi }in=0   такие, что    ∑b             i
                                          2
                                              ≠ 0, т.е. хотя бы одно bi ≠ 0, и выполняются следующие равенства:
                              i =0
                          b0φ0(xi)+b1φ1(xi)+…+bnφn(xi)=0, i=0,1,…,n.
       Последнее эквивалентно тому, что существует полином, который обращается в 0 в n+1
точках. Поскольку Т-система имеет n нулей, то получили противоречие, которое и доказывает
справедливость выполнения соотношения (1).
            Пусть теперь выполнено (1). Докажем, что                                                {ϕ   j   ( x)} j = 0 – Т-система. Предположим
                                                                                                                n



противное. Тогда найдутся n+1 различных точек {x i }i = 0 на [a,b] таких, что некоторый полином
                                                                                                n



        ∑                                                                                                       ∑
             n                                                                                                      n
C(x)=        k =0
                    c k ϕ k ( x) имеет n+1 нулей в точке xi (при этом                                               i =0
                                                                                                                           c i2 ≠ 0) . Тогда имеет место
система уравнений
                           c0φ0(xi)+c1φ1(xi)+…+cnφn(xi)=0, i=0,1,…,n.
       Но это однородная система уравнений, и она имеет отличные от нуля решения {c i }i = 0
                                                                                        n


тогда и только тогда, когда главный определитель приведенной системы уравнений отличен от
нуля. Поскольку этим определителем является            определитель (1), то опять пришли к
противоречию. Предположение не подтвердилось, поэтому ϕ j ( x)                                           {          }
                                                                                                                    n
                                                                                                                        j =0
                                                                                                                               – Т-система.
       Итак, интерполяционный полином существует. Единственность существующего полинома
вытекает из того, что система уравнений вида
                                                               n

                                                             ∑a ϕ
                                                             k =0
                                                                     k   k   ( xi ) = α i , i=0,1,…,n

с неизвестными {ak} может иметь только одно решение, т.к. главный определитель этой системы
отличен от нуля, и система является определенной.
       Пример. Пусть ϕ i ( x) = x i , i=0,1,…,n. Показать, что система функций                                                                {x }
                                                                                                                                                i n
                                                                                                                                                  i =0   есть Т-
система на всей вещественной оси.
            Пусть      {x }
                          j
                                n
                                j =0
                                              – множество различных точек на действительной оси. Необходимое
доказательство сводится к доказательству следующего факта: