ВУЗ:
Составители:
36
Определим старший коэффициент этого многочлена. Обозначим
∏
=
+
−=
n
j
jn
xx
0
1
).(
ω
Тогда
.
)(
)(
1
j
n
j
xx
x
ax
−
=Φ
+
ω
Воспользовавшись равенством Ф
j
(x
j
)=1, определим значение коэффициента a:
.
)(
1
)(
)()(
lim1
'
1
'
1
11
1
jn
jn
j
jnn
xx
xx
j
n
x
axa
xx
xx
a
xx
a
j
j
+
+
++
→
=
+
=⇒=
−
−
=
−
=
ω
ω
ω
ω
ω
Поэтому
j
n
jn
j
xx
x
x
x
−
=Φ
+
+
)(
)(
1
)(
1
'
1
ω
ω
, что приводит к выражению
∑
=
+
+
−
=
n
j
j
n
jn
jn
xx
x
x
xfxL
0
1
'
1
)(
)(
1
)()(
ω
ω
, (2)
которое представляет собой формулу интерполяционного полинома Лагранжа.
2.3.3. Формула остаточного члена полинома Лагранжа
Если о функции известно только то, что она непрерывна, то никаких оценок интерполяции
сделать нельзя. Предположим, что функция f(x), значения которой заданы в точках
{}
n
i
i
x
0=
на [a,b]
непрерывно дифференцируема, и при этих условиях на функцию выведем формулу остаточного
члена R
n
(x)=f(x)-L
n
(x), где L
n
(x) – интерполяционный полином Лагранжа по системе функций
{}
.
0
n
j
j
x
=
Введем в рассмотрение функцию, заданную на [a,b]:
φ(z)=f(z)-L
n
(z)-K(z-x
0
)(z-x
1
)…(z-x
n
),
где K – некоторая константа, значение которой требуется определить.
Найдем R(x) в некоторой фиксированной точке x
≠
x
j
, j=0,1,…,n, и подберем K таким
образом, чтобы в этой точке φ(z) обращалась в ноль, т.е.
φ(x)=f(x)-L
n
(x)-K(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n
)=0 ⇒ .
))...()((
)()(
10 n
n
xxxxxx
xLxf
K
−−−
−
=
При полученном значении K функция φ(z) обращается в ноль не менее, чем в n+2
различных точках: x,
{
}
n
i
i
x
0=
; тогда φ'(z) имеет не менее (n+1) действительных корней (нулей);
φ''(z) – не менее n нулей и т.д., φ
(n+1)
(z) – не менее одного. Пусть ξ – действительный корень
φ
(n+1)
(z), т.е. φ
(n+1)
(ξ)=0. Из формулы для φ(z) вытекает, что в любой точке z выполняется
соотношение φ
(n+1)
(z)=f
(n+1)
(z)-K(n+1)!, откуда, полагая z=ξ, получаем ,
)!1(
)(
)1(
+
=
+
n
f
K
n
ξ
что, с учетом
соотношений R
n
(x)=f(x)-L
n
(x), ω
т+1
(x)=(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n
), приводит к формуле остаточного члена
полинома Лагранжа
),(
)!1(
)(
)(
1
)1(
x
n
f
xR
n
n
n +
+
+
=
ω
ξ
ξ
∈
[a,b].
2.3.4. Оценка остаточного члена формулы Лагранжа
Полиномы Чебышева.
Пусть по-прежнему функция f(x), значения которой заданы в точках
{}
n
i
i
x
0=
на [a,b]
непрерывно дифференцируема n+1 раз. Пусть
.)(max
)1(
],[
1
xfM
n
ba
n
+
+
= Тогда для остаточного
члена в формуле Лагранжа имеем следующую оценку:
36
n
Определим старший коэффициент этого многочлена. Обозначим ω n +1 = ∏ (x − x
j =0
j ). Тогда
ω n +1 ( x)
Φ j ( x) = a . Воспользовавшись равенством Фj(xj)=1, определим значение коэффициента a:
x − xj
ω n +1 ω n +1 ( x) − ω n +1 ( x j ) 1
1= a x= x j = a lim = aω n' +1 ( x j ) ⇒ a = .
x − xj x→ x j x − xj ω (x j )
'
n +1
1 ω n +1 ( x)
Поэтому Φ j ( x) = , что приводит к выражению
ω (x j ) x − x j
'
n +1
n
1 ω n +1 ( x)
Ln ( x ) = ∑ f ( x j ) , (2)
j =0 ω (x j ) x − x j
'
n +1
которое представляет собой формулу интерполяционного полинома Лагранжа.
2.3.3. Формула остаточного члена полинома Лагранжа
Если о функции известно только то, что она непрерывна, то никаких оценок интерполяции
сделать нельзя. Предположим, что функция f(x), значения которой заданы в точках {x i }i = 0 на [a,b]
n
непрерывно дифференцируема, и при этих условиях на функцию выведем формулу остаточного
члена Rn(x)=f(x)-Ln(x), где Ln(x) – интерполяционный полином Лагранжа по системе функций
{x }
j n
j =0 . Введем в рассмотрение функцию, заданную на [a,b]:
φ(z)=f(z)-Ln(z)-K(z-x0)(z-x1)…(z-xn),
где K – некоторая константа, значение которой требуется определить.
Найдем R(x) в некоторой фиксированной точке x ≠ xj, j=0,1,…,n, и подберем K таким
образом, чтобы в этой точке φ(z) обращалась в ноль, т.е.
f ( x ) − Ln ( x )
φ(x)=f(x)-Ln(x)-K(x-x0)(x-x1)…(x-xn)=0 ⇒ K = .
( x − x 0 )( x − x1 )...( x − x n )
При полученном значении K функция φ(z) обращается в ноль не менее, чем в n+2
различных точках: x, {x i }i = 0 ; тогда φ'(z) имеет не менее (n+1) действительных корней (нулей);
n
φ''(z) – не менее n нулей и т.д., φ(n+1)(z) – не менее одного. Пусть ξ – действительный корень
φ(n+1)(z), т.е. φ(n+1)(ξ)=0. Из формулы для φ(z) вытекает, что в любой точке z выполняется
f ( n +1) (ξ )
соотношение φ(n+1)(z)=f(n+1)(z)-K(n+1)!, откуда, полагая z=ξ, получаем K = , что, с учетом
(n + 1)!
соотношений Rn(x)=f(x)-Ln(x), ωт+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn), приводит к формуле остаточного члена
полинома Лагранжа
f ( n +1) (ξ )
R n ( x) = ω n +1 ( x), ξ ∈ [a,b].
(n + 1)!
2.3.4. Оценка остаточного члена формулы Лагранжа
Полиномы Чебышева.
Пусть по-прежнему функция f(x), значения которой заданы в точках {x i }in=0 на [a,b]
( n +1)
непрерывно дифференцируема n+1 раз. Пусть M n +1 = max f ( x) . Тогда для остаточного
[ a ,b ]
члена в формуле Лагранжа имеем следующую оценку:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
