ВУЗ:
Составители:
38
Свойства разделенных разностей:
1) для разделенных разностей k-го порядка имеет место формула
f[x
j
,x
j+1
,…,x
j+k
]=
∑
+
=
kj
ji
i
i
x
xf
,
)('
)(
ω
где ,)()(
∏
+
=
−=
kj
ji
i
xxx
ω
;)()('
,
∏
+
≠=
−=
kj
piji
ipp
xxx
ω
2) разделенная разность k-го порядка f[x
j
, x
j+1
,…, x
j+k
]=F
k
(f)
есть линейный функционал, т.е.
F
k
[f(x) ± g(x)]=F
k
[f(x)] ± F
k
[g(x)], F
k
[af(x)]=aF
k
[f(x)];
3) разделенная разность есть симметричная функция своих аргументов, т.е. аргументы можно
переставлять, например,
f[x
j
, x
j+1
,…,x
j+k
]= f[x
j+1
, x
j
,…,x
j+k
];
4) разделенные разности k-го порядка от функции x
n
есть однородные многочлены своих
аргументов порядка (n-k), разделенные разности n-го порядка тождественно равны 1, а выше n-
го порядка равны 0;
5) учитывая, что алгебраический многочлен есть сумма степенных функций, получаем, что для
любого алгебраического многочлена степени n разделенные разности n-го порядка равны
const, а разделенные разности (n+1)-го порядка равны 0.
2.3.6. Интерполяционная формула Ньютона
Пусть дана непрерывная на [a,b] функция f(x) и узлы интерполяции
{}
n
j
j
x
0=
. Пусть L
k
(x) –
интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), построенный по узлам
{
}
.
0
k
j
j
x
=
Рассматривая преобразование L
n
(x)=L
0
(x)+[L
1
(x)-L
0
(x)]+[L
2
(x)-L
1
(x)]+…+[L
n
(x)-L
n-1
(x)], где L
k
(x)-L
k-
1
(x)=A(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
k-1
), определим значение старшего коэффициента A, положив для этого x=x
k
:
−
−
=
−
−
=
∏∏
−
=
−
=
−
1
0
1
0
1
)(
)(
)(
)()(
k
j
jk
k
k
j
jk
kkkk
xx
xf
xx
xLxL
A
=
−
−−−−−
−
−
−
−
−
−
∏
∑
−
=
−
=
−+−
−+−
1
0
1
0
11110
11110
)(
))...()()...()((
))...()()...()(((
)(
k
j
jk
k
j
kjjjjjjj
kkjkjkkk
j
xx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xf
],,...,,[
)('
)(
10
0
k
k
j
j
j
xxxf
x
xf
==
∑
=
ω
где
∏
=
−=
k
j
j
xxx
0
).()(
ω
Интерполяционная формула Ньютона имеет следующий вид:
H
n
(x) ≡L
n
(x)=f(x
0
)+(x-x
0
)f[x
0
, x
1
]+(x-x
0
)(x-x
1
)f[x
0
, x
1
, x
2
]+
+…+(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
k
)f[x
0
, x
1
,…x
k+1
]+…+(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n-1
)f[x
0
, x
1
,…x
n
].
Эта формула очень удобна, т.к. при добавлении новых точек интерполирования надо лишь
добавлять новые слагаемые, не меняя старой записи. Используя тот факт, что разделенные
разности – симметричные функции своих аргументов, новые узлы интерполирования можно брать
в любом порядке, в том числе и в промежутках между старыми. Особенно удобна формула
Ньютона при составлении таблиц.
2.3.7. Основные задачи в теории интерполирования
В теории интерполирования можно выделить две основные задачи. Первую назовем
"задачей приближения функции в точке". Для поиска решения этой задачи характерно стремление
по заданным значениям функции f(x) в точках
{
}
1
1
+
=
n
j
j
x
на [a,b] получить возможно более точное
значение функции в некоторой фиксированной точке x
∈
[a,b]. Такая задача возникает при
вычислении значения функции по таблице, когда значение x не совпадает с узлом таблицы.
38
Свойства разделенных разностей:
1) для разделенных разностей k-го порядка имеет место формула
j+k j+k j +k
f ( xi )
f[xj,xj+1,…,xj+k]= ∑ ω ' ( x ) , где ω ( x) = ∏ ( x − x ), ω ' ( x
i= j i= j
i p) = ∏ (x
i = j ,i ≠ p
p − x i );
i
2) разделенная разность k-го порядка f[xj, xj+1,…, xj+k]=Fk(f) есть линейный функционал, т.е.
Fk[f(x) ± g(x)]=Fk[f(x)] ± Fk[g(x)], Fk[af(x)]=aFk[f(x)];
3) разделенная разность есть симметричная функция своих аргументов, т.е. аргументы можно
переставлять, например,
f[xj, xj+1,…,xj+k]= f[xj+1, xj,…,xj+k];
4) разделенные разности k-го порядка от функции xn есть однородные многочлены своих
аргументов порядка (n-k), разделенные разности n-го порядка тождественно равны 1, а выше n-
го порядка равны 0;
5) учитывая, что алгебраический многочлен есть сумма степенных функций, получаем, что для
любого алгебраического многочлена степени n разделенные разности n-го порядка равны
const, а разделенные разности (n+1)-го порядка равны 0.
2.3.6. Интерполяционная формула Ньютона
Пусть дана непрерывная на [a,b] функция f(x) и узлы интерполяции x j { } n
j =0
. Пусть Lk(x) –
интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), построенный по узлам {x }
j
k
j =0
.
Рассматривая преобразование Ln(x)=L0(x)+[L1(x)-L0(x)]+[L2(x)-L1(x)]+…+[Ln(x)-Ln-1(x)], где Lk(x)-Lk-
1(x)=A(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1), определим значение старшего коэффициента A, положив для этого x=xk:
Lk ( x k ) − Lk −1 ( x k ) f ( xk )
A= k −1
= k −1
−
∏ (x
j =0
k − xj) ∏ (x
j =0
k − xj)
k −1 ( x k − x 0 )(( x k − x1 )...( x k − x j −1 )( x k − x j +1 )...( x k − x k −1 )
∑ f (x
j =0
j )
( x j − x 0 )( x j − x1 )...( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )...( x j − x k −1 )
− k −1
=
∏ (x
j =0
k − xj)
k f (x j ) k
=∑ = f [ x 0 , x1 ,..., x k ], где ω ( x) = ∏ ( x − x j ).
j =0 ω' (x j ) j =0
Интерполяционная формула Ньютона имеет следующий вид:
Hn(x) ≡ Ln(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0, x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0, x1, x2]+
+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xk)f[x0, x1,…xk+1]+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)f[x0, x1,…xn].
Эта формула очень удобна, т.к. при добавлении новых точек интерполирования надо лишь
добавлять новые слагаемые, не меняя старой записи. Используя тот факт, что разделенные
разности – симметричные функции своих аргументов, новые узлы интерполирования можно брать
в любом порядке, в том числе и в промежутках между старыми. Особенно удобна формула
Ньютона при составлении таблиц.
2.3.7. Основные задачи в теории интерполирования
В теории интерполирования можно выделить две основные задачи. Первую назовем
"задачей приближения функции в точке". Для поиска решения этой задачи характерно стремление
по заданным значениям функции f(x) в точках x j { } n +1
j =1
на [a,b] получить возможно более точное
значение функции в некоторой фиксированной точке x ∈ [a,b]. Такая задача возникает при
вычислении значения функции по таблице, когда значение x не совпадает с узлом таблицы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
