Численные методы. Корнюшин П.Н. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

53
2x
1
+4x
2
+3x
3
=4, (11)
3x
1
+x
2
-2x
3
=-2, (12)
4x
1
+11x
2
+7x
3
=7. (13)
Прямой ход. Первый шаг. Разделим первое уравнение на a
11
=2:
x
1
+2x
2
+1,5x
3
=2. (14)
Умножим (14) на -3 и сложим с (12), затем умножим (14) на -4 и сложим с (13):
-5x
2
-6,5x
3
=-8, (15)
3x
2
+x
3
=1. (16)
Мы получили систему второго порядка.
Второй шаг. Разделим (15) на -5:
x
2
+1,3x
3
=1,6. (17)
Умножим (17) на -3 и сложим с (16):
-2,9x
3
=-5,8. (18)
Третий шаг. Делим (18) на -2,9:
x
3
=2.
В результате получили систему
x
1
+2x
2
+1,5x
3
=2,
x
2
+1,3x
3
=1,6,
x
3
=2
с верхней треугольной матрицей
.
100
3,110
5,121
Обратный ход. Из системы последовательно находим: x
3
=2; x
2
=1,6-1,3*2=-1; x
1
=2-2x
2
-
1,5*x
3
=1. Таким образом, решение системы (11) – (13) найдено:
x
1
=1, x
2
=-1, x
3
=2.
3.5.2.2. Метод квадратного корня
Этот метод пригоден для систем
Au=f (19)
с симметричной матрицей A. Матрица A разлагается в произведение
A=SDS
*
, (20)
где S=(s
ij
) – нижняя треугольная (s
ij
=0 при j>i), D=(d
ij
) – диагональная матрицы (d
ij
=d
i
δ
ij
,
δ
ij
– символ Кронекера,
δ
ij
=0, i ≠ j,
δ
ii
=1); без ограничения общности можно положить s
ii
=1 для всех
i=1, 2,…, N. Решение уравнения Au=f сводится к последовательному решению двух систем:
Sdy=f, S
*
u=y.
В силу (20) имеем
a
i1
=d
1
s
i1
, i ≥1, (21)
∑
−
=
=+=
1
1
2
,,...,3,2,
i
k
ikkiiiii
Nisdsda
(22)
∑
−
=
−=+≥+=
1
1
_
,1,...,3,2,1,
j
k
jk
ikkijjij
Njjissdsda
(23)
где
ik
s
_
– комплексно сопряженное к s
ik
число, т.к. S
*
=( )
_
ji
s . Положим
ikk
ik
sds =
^
(24)
и выберем
d
1
=a
11
,
∑
−
=
=−=
1
1
_
^
.,..,3,2,
i
k
ikik
iii
Nissad (25) 
                                                                        53


                                 2x1+4x2+3x3=4,          (11)
                                 3x1+x2-2x3=-2,           (12)
                                 4x1+11x2+7x3=7.          (13)
       Прямой ход. Первый шаг. Разделим первое уравнение на a11=2:
                                 x1+2x2+1,5x3=2.         (14)
       Умножим (14) на -3 и сложим с (12), затем умножим (14) на -4 и сложим с (13):
                                  -5x2-6,5x3=-8,         (15)
                                 3x2+x3=1.               (16)
       Мы получили систему второго порядка.
       Второй шаг. Разделим (15) на -5:
                                 x2+1,3x3=1,6.           (17)
       Умножим (17) на -3 и сложим с (16):
                                 -2,9x3=-5,8.            (18)
       Третий шаг. Делим (18) на -2,9:
                                              x3=2.
       В результате получили систему
                                         x1+2x2+1,5x3=2,
                                          x2+1,3x3=1,6,
                                               x3=2
с верхней треугольной матрицей
                                                        1 2 1,5
                                                        0 1 1,3.
                                                                
                                                        0 0 1 
       Обратный ход. Из системы последовательно находим: x3=2; x2=1,6-1,3*2=-1; x1=2-2x2-
1,5*x3=1. Таким образом, решение системы (11) – (13) найдено:
                                      x1=1, x2=-1, x3=2.


                                  3.5.2.2. Метод квадратного корня

        Этот метод пригоден для систем
                                          Au=f             (19)
с симметричной матрицей A. Матрица A разлагается в произведение
                                          A=SDS*,          (20)
        где S=(sij) – нижняя треугольная (sij=0 при j>i), D=(dij) – диагональная матрицы (dij=diδij, δij
– символ Кронекера, δij=0, i ≠ j, δii=1); без ограничения общности можно положить sii=1 для всех
i=1, 2,…, N. Решение уравнения Au=f сводится к последовательному решению двух систем:
                                               Sdy=f, S*u=y.
        В силу (20) имеем
                                    ai1=d1si1, i ≥ 1,           (21)
                                           i −1
                           aii = d i s ii + ∑ d k sik , i = 2,3,..., N ,
                                                                    2
                                                                                             (22)
                                           k =1
                                    j −1          _
                    aij = d j s ij + ∑ d k sik s jk , i ≥ j + 1, j = 2,3,..., N − 1,                 (23)
                                    k =1
            _                                                                           _
        где s ik – комплексно сопряженное к sik число, т.к. S*=( s ji ) . Положим
                                            ^
                                            s ik = d k sik                      (24)
и выберем
                                                      i −1 ^        _
                         d1=a11, d i = a ii −         ∑s
                                                      k =1
                                                               ik   s ik , i = 2,3,.., N .    (25)

Страницы