Численные методы. Корнюшин П.Н. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

55
∑∑ ∑∑
=
−
=+=
−
=
+=++=
N
k
i
k
N
ik
i
k
ijiikjikkjikijiikjikkjik
cbcbcbcbcbcb
1
1
11
1
1
,
∑∑ ∑ ∑
=
−
=+=
−
=
+=++=
N
k
j
k
N
jk
j
k
jjijkjikkjikjjijkjikkjik
cbcbcbcbcbcb
1
1
11
1
1
.
Отсюда находим
∑
−
=
−=
1
1
i
k
kjikijij
cbab
при ,1,,
111111
=
=
≥ cabji
−=
∑
−
=
1
1
1
i
k
kjikij
ii
ij
cba
b
c при i<j.
Матрицы B и C найдены.
Решение уравнения Au=Bcu=f сводится к последовательному решению уравнений
B
ϕ
=f, Cu=
ϕ
.
Построение матриц B и C и нахождение
ϕ
=B
-1
f соответствует прямому ходу, а решение
уравнения
Cu=
ϕ
соответствует обратному ходу метода Гаусса.
3.5.3. Итерационные методы
3.5.3.1. Метод итераций для решения системы линейных алгебраических уравнений
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений
Au=f. (1)
Для ее решения выберем некоторое начальное приближение y
0
∈H и последовательно
найдем приближенные решения (итерации) уравнения (1). Значение итерации y
k+1
выражается
через известные предыдущие итерации y
k
, y
k-1
,…. Если при вычислении y
k+1
используется только
одна предыдущая итерация y
k
, то итерационный метод называют одношаговым методом; если же
y
k+1
выражается через две итерации y
k
и y
k-1
, то метод называется двухшаговым. Будем считать, что
A: H
→H – линейный оператор, отображающий конечномерное пространство H (с заданным
скалярным произведением) в себя.
Важную роль играет запись итерационных методов в единой (канонической) форме.
Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей канонической форме:
,...1,0,
1
1
==+
−
+
+
kfAy
yy
B
k
k
kk
τ
для всех y
0
∈
H, (2)
где A: H
→H – оператор исходного уравнения (1), B: H → H – линейный оператор,
имеющий обратный B
-1
, k – номер итерации,
τ
1
,
τ
2
,…,
τ
k+1
,… – итерационные параметры,
τ
k+1
>0.
Оператор B может, вообще говоря, зависеть от номера k; для простоты изложения мы
предполагаем всюду, что B не зависит от k.
Если B=E – единичный оператор, то метод
,...1,0,
1
1
==+
−
+
+
kfAy
yy
k
k
kk
τ
для всех y
0
∈
H (3)
называют явным: y
k+1
находится по явной формуле
y
k+1
=y
k
-
τ
k+1
(Ay
k
-f).
В общем случае, при B
≠ E, метод (2) называется неявным итерационным методом: для
определения y
k+1
надо решить уравнение
By
k+1
=By
k
-
τ
k+1
(Ay
k
-f)=F
k
, k=0, 1,… (4)
Естественно требовать, чтобы объем вычислений для решения системы By
k+1
=F
k
был
меньше, чем объем вычислений для прямого решения системы Au=f. 
                                                               55


                        N                i −1                       N               i −1

                       ∑ bik ckj = ∑ bik ckj + bii cij +
                       k =1               k =1
                                                                 ∑ bik ckj = ∑ bik ckj + bii cij ,
                                                                 k =i +1            k =1
                       N                 j −1                       N                 j −1

                     ∑b
                     k =1
                                 c = ∑ bik ckj + bij c jj +
                               ik kj
                                        k =1
                                                                  ∑b
                                                                 k = j +1
                                                                             c = ∑ bik ckj + bij c jj .
                                                                            ik kj
                                                                                     k =1
       Отсюда находим
                                                 i −1
                                 bij = aij − ∑ bik c kj при i ≥ j , b11 = a11 , c11 = 1,
                                                 k =1

                                                   1          i −1
                                                                        
                                          cij =
                                                   bii    ij ∑ bik ckj  при i0.
Оператор B может, вообще говоря, зависеть от номера k; для простоты изложения мы
предполагаем всюду, что B не зависит от k.
       Если B=E – единичный оператор, то метод
                     y k +1 − y k
                                       + Ay k = f , k = 0,1,... для всех y0 ∈ H                     (3)
                        τ k +1
называют явным: yk+1 находится по явной формуле
                                       yk+1=yk-τk+1(Ayk-f).
       В общем случае, при B ≠ E, метод (2) называется неявным итерационным методом: для
определения yk+1 надо решить уравнение
                          Byk+1=Byk-τk+1(Ayk-f)=Fk, k=0, 1,…   (4)
       Естественно требовать, чтобы объем вычислений для решения системы Byk+1=Fk был
меньше, чем объем вычислений для прямого решения системы Au=f.

Страницы