ВУЗ:
Составители:
57
Широкое распространение на практике (в особенности в тех случаях, когда информации о
матрице A недостаточно) получил итерационный метод Зейделя в одной из двух форм:
∑∑
=+=
+
=≠=+
i
j
N
ij
ii
ij
kij
j
kij
Niafyaya
11
)()()(
1
,,...,2,1,0,
(9)
∑∑
−
==
+
==+
1
1
)()(
1
)(
.,...,2,1,
i
j
N
ij
ij
kij
j
kij
Nifyaya (10)
Из обеих формул компоненты вектора y
k+1
находятся последовательно. Так, из (9)
последовательно определяем
:,...,,
)(
1
)2(
1
)1(
1
N
kkk
yyy
+++
,
1
2
)(
1
)1(
11
)1(
1
−=
∑
=
+
N
j
j
kjk
yaf
a
y
.,...,2,
1
1
1
1
)(
1
)()()(
1
Niyayaf
a
y
N
ij
i
j
j
kij
j
kij
i
ii
i
k
=
−−=
∑∑
+=
−
=
++
Пользуясь (10), находим последовательно для i=N, N-1,…, 1
,
1
1
1
)()()(
1
−=
∑
−
=
+
N
j
j
kNj
N
NN
N
k
yaf
a
y
.1,...,1,
1
1
11
)(
1
)()()(
1
−=
−−=
∑∑
−
=+=
++
Niyayaf
a
y
i
j
N
ij
j
kij
j
kij
i
ii
i
k
Запишем этот метод в матричной (операторной) форме. Для этого представим матрицу A в
виде суммы
A=A
–
+D+A
+
,
где D=(a
ii
δ
ij
) – диагональная матрица размера N*N, A
–
=(
−
ij
a ) – нижняя треугольная
(поддиагональная) матрица с нулями на главной диагонали,
−
ij
a =0 при ji ≥ ,
−
ij
a =a
ij
при j<i,
A
+
=(
+
ij
a ) – верхняя треугольная (наддиагональная) матрица с нулями на главной диагонали,
+
ij
a =0
при
,ij ≤
+
ij
a =a
ij
при j>i. Из определения A
–
, D, A
+
, следует
∑
−
=
−
==
1
1
)()()()(
,)(,)(
i
j
j
ij
ii
ii
i
yayAyaDy
∑
+=
+
=
N
ij
j
ij
i
yayA
1
)()(
,)(
∑
=
+
=+
N
ij
j
ij
i
yayDA .))((
)()(
Поэтому уравнение (10) можно записать в виде
((A
+
+D)y
k+1
)
(i)
+ (A
−
y
k
)
(i)
=f
(i)
, i=1, 2,…, N,
или, в векторной форме,
(A
+
+D)y
k+1
+ A
−
y
k
=f.
После очевидных преобразований
(A
+
+D)y
k+1
+ A
−
y
k
=(A
+
+D)(y
k+1
-y
k
)+ (A
−
+(A
+
+D))y
k
=(A
+
+D)(y
k+1
-y
k
)+Ay
k
запишем метод Зейделя (10) в каноническом виде
(A
+
+D)(y
k+1
-y
k
)+Ay
k
=f, k=0, 1, 2,… (11)
Сравнивая (11) с (2), видим, что метод Зейделя (10) соответствует
B=D+A
+
, ,1
≡
τ
Т.е. схема (11) является неявной. Однако, т.к. B=D+A
+
– треугольная матрица, то итерация
y
k+1
находится по явным формулам. Аналогично записывается и другой вариант метода Зейделя:
(A
−
+D)(y
k+1
-y
k
)+Ay
k
=f, k=0, 1, 2,…, (12)
когда B=D+ A
−
– нижняя треугольная матрица. Можно показать, что метод Зейделя сходится,
если A –симметричная положительно определенная матрица.
57
Широкое распространение на практике (в особенности в тех случаях, когда информации о
матрице A недостаточно) получил итерационный метод Зейделя в одной из двух форм:
i N
∑a
j =1
ij y k( +j )1 + ∑a
j =i +1
ij y k( j ) = f ( i ) , aii ≠ 0, i = 1,2,..., N , (9)
i −1 N
∑ aij y k( j ) + ∑ aij yk( +j )1 = f (i ) , i = 1,2,..., N .
j =1 j =i
(10)
Из обеих формул компоненты вектора yk+1 находятся последовательно. Так, из (9)
последовательно определяем y k(1+)1 , y k( 2+)1 ,..., y k( N+1) :
1 (1) N
y k(1+)1 = f − ∑ a1 j y k( j ) ,
a11 j =2
1 (i ) N i −1
y k( i+)1 = f − ∑ aij y k( j ) − ∑ aij y k( +j )1 , i = 2,..., N .
aii
j =i +1 j =1
Пользуясь (10), находим последовательно для i=N, N-1,…, 1
( N ) N −1
1
y k( N+1) = f
a NN
− ∑ a Nj y ( j)
k
,
j =1
1 (i ) i −1 N
y k(i+)1 = f
− ∑ aij y k( j ) − ∑ aij y k( +j )1 , i = N − 1,...,1.
aii j =1 j =i +1
Запишем этот метод в матричной (операторной) форме. Для этого представим матрицу A в
виде суммы
A=A–+D+A+,
где D=(aiiδij) – диагональная матрица размера N*N, A–=( aij− ) – нижняя треугольная
(поддиагональная) матрица с нулями на главной диагонали, aij− =0 при i ≥ j , aij− =aij при ji. Из определения A–, D, A+, следует
i −1
( Dy ) (i ) = a ii y (i ) , ( A − y ) ( i ) = ∑ aij y ( j ) ,
j =1
N N
( A + y ) (i ) = ∑ aij y ( j ) , (( A + + D) y) (i ) = ∑ aij y ( j ) .
j =i +1 j =i
Поэтому уравнение (10) можно записать−в виде
((A++D)yk+1)(i)+ (A yk)(i)=f(i), i=1, 2,…, N,
или, в векторной форме, −
(A++D)yk+1+ A yk=f.
После очевидных преобразований
− −
(A++D)yk+1+ A yk=(A++D)(yk+1-yk)+ (A +(A++D))yk=(A++D)(yk+1-yk)+Ayk
запишем метод Зейделя (10) в каноническом виде
(A++D)(yk+1-yk)+Ayk=f, k=0, 1, 2,… (11)
Сравнивая (11) с (2), видим, что метод Зейделя (10) соответствует
B=D+A+, τ ≡ 1,
Т.е. схема (11) является неявной. Однако, т.к. B=D+A+ – треугольная матрица, то итерация
yk+1 находится по явным формулам. Аналогично записывается и другой вариант метода Зейделя:
(A − +D)(yk+1-yk)+Ayk=f, k=0, 1, 2,…, (12)
−
когда B=D+ A – нижняя треугольная матрица. Можно показать, что метод Зейделя сходится,
если A –симметричная положительно определенная матрица.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
