Численные методы. Корнюшин П.Н. - 58 стр.

                                                                     58


                                                  3.5.3.4. Метод релаксации

       Чтобы ускорить итерационный процесс, запишем метод Зейделя в виде итерационной
схемы (2), введя параметр ω, так что
                                     y k +1 − y k
                  ( D + ωA − )                         + Ay k = f , k=0, 1,…, для всех y0 ∈ H. (13)
                                              ω
        Сравнивая (13) с (2), видим, что
                                        B=D+ω A–, τ=ω.
        Преобразуем уравнение (13) к расчетному виду. Учитывая, что
                                         y k +1 − y k             1               D
                    ( D + ωA − )              + Ak =  A − + D  y k +1 +  A − A − −  y k =
                                          ω                      ω                ω
                                           1                     1 
                                   =  A − + D  y k +1 +  A + + 1 −  D  y k ,
                                           ω                     ω 
имеем
                                   − 1               +  1 
                                   A + D  y k +1 +  A + 1 −  D  y k = f .
                                      ω                   ω 
        Отсюда находим
                                              ω             i −1               N                
                     y k( i+)1 = y k( i ) +       
                                              aii 
                                                    f (i )
                                                           − ∑    a   y ( j)
                                                                    ij k +1  − ∑    aij y k( j ) , i = 1,2,..., N ,
                                                             j =1              j =i              
т.е. при ω=1 получили формулу метода Зейделя.
        Скорость сходимости метода релаксации зависит от параметра ω. Для сходимости метода
требуется, чтобы 0<ω<2. При 0<ω<1 итерационный процесс (13) называют методом нижней
релаксации, а при 1<ω<2 – методом верхней релаксации.