Численные методы. Корнюшин П.Н. - 96 стр.

                                                          96


         Таблица 10
                                                         -xs      1

                                                  …      α1s     β1

                                                  …      α2s     β2

                                                  …       …      …

                                                  …      αrs      βr

                                                  …       …      …

                                                  …      αms     βm

         Таблица 11

                                   ………………………………………………………                          1

                                  ……………………………………                                 β 1'

                                  ……………………………………                                 β '2

                                  ……………………………………                                 …

                                  ……………………………………                                 β 'r

                                  ……………………………………                                 …

                                  ……………………………………                                 β 'm

         При     этом    элементы       заключительного        столбца      βi    переходят        в   элементы     β i'
заключительного столбца новой таблицы 11. Надо показать, что если все β i ≥ 0 (i=1, 2,…, m), то и
все  β i' ≥ 0 (i=1, 2,…, m). Возьмем сначала элемент ведущей строки β r' ; он будет
неотрицательным, т.к. β r' = β r / α rs ≥ 0 (числитель неотрицательный, а знаменатель
положительный). Возьмем теперь какой-нибудь другой элемент; он получается по правилу
прямоугольника: β i' = β i − α is β r / α rs . .
      Возможны два случая:
      1) α is ≤ 0;
так как βr/αrs ≥ 0, β i ≥ 0, то β i' ≥ β i ≥ 0;
       2) αis>0;
тогда представим β i' иначе: β i' = α is ( β i / α is − β r / α rs ) , и так как β r / α rs = min β r / α is , то число
                                                                                               i

в скобке неотрицательно, а множитель αis>0; значит, и в этом случае β ≥ 0.              i
                                                                                         '


       Теорема доказана.