Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

134
18.2 Движение планет и спутников
Рассмотрим движение спутника по эллиптической орбите вокруг
планеты массой М. Предположим, что единицы намерения выбраны так,
что GM = 1 (где G – гравитационная постоянная). Если планета
расположена в начале координат плоскости ху, то уравнения движения
спутника можно записать в виде:
() ()
22
3/2 3/2
22
22 22
, ,
dx x dy y
dt dt
xy xy
=− =−
++
(18.13)
Пусть T обозначает период обращения спутника. Согласно третьему
закону Кеплера, квадрат T пропорционален кубу большей полуоси а
эллиптической орбиты спутника. В частности, если GM = 1, то:
T
2
= 4
π
2
a
3
. (18.14)
Если x– и y – компоненты скорости спутника обозначить через x
1
=x,
x
2
= y, x
3
= x
1
′ и x
4
= x
2
′, то система (18.13) преобразуется в эквивалентную
систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка:
()
()
13
24
1
3
3/2
22
12
2
4
3/2
22
12
xx
xx
x
x
xx
x
x
xx
′
=
⎧
⎪
′
=
⎪
⎪
⎪
′
=−
⎨
+
⎪
⎪
′
=−
⎪
+
⎪
⎩
a)
Решим численно при помощи MATLAB эту систему размера 4×4 при
начальных условиях: x(0)=1, y(0)=0, x
′
(0)=0, y
′
(0)=1, которые
теоретически соответствуют круговой орбите радиуса а=1. Тогда из
равенства (18.14) должно получиться, что T = 2
π
.
b)
Теперь решим численно эту систему при начальных условиях: x(0)=1,
y(0)=0, x
′
(0)=0, y
′
(0)=(3/2)
1/2
, которые теоретически соответствуют
эллиптической орбите, большая полуось которой равна а=2. Тогда из
равенства (18.14) следует, что T=4
π
(6)
1/2
.
Текст на MATLAB
function solv_movement
clc
clear
%Формирование вектора начальных условий
X0=[1; 0; 0; 1];
%Вызов солвера от функции osci1 начального и конечного
% момента времени и вектора начальных условий
long_T=4*pi;
[T,X]=ode45(@osci1, [0 long_T], X0);
% Вывод графика решения исходного дифференциального уравнения

Страницы