Разработка и анализ математических моделей с использованием MATLAB и MAPLE. Коробейников А.Г. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

132
2
22
.
dz k
z
dh
+=
Θ
(18.10)
Шаг 7. Покажите, что уравнение (18.10) имеет общее решение:
z(
Θ
) = Asin
Θ
+ Bsin
Θ
+ k/h
2
. (18.11)
Шаг 8. Наконец, из уравнения (18.11) выведите, что r(
Θ
) =1/z(
Θ
)
выражается формулой:
()
()
,
1cos
L
r
e
α
Θ=
+Θ−
(18.12)
где e = Ch
2
/k, Ccosα = A, Csinα = B и L = h
2
/k.
График уравнения (18.12) в полярных координат представляет
собой коническое сечение, эксцентриситет которого равен e. Это
коническое сечение с фокусом в начале координат является эллипсом при
0 ≤ e < 1, параболой – при e = 1, и гиперболой – при e > 1. Орбиты планет
расположены в ограниченной области (движения планет финитны) и,
следовательно, являются эллипсами с эксцентриситетом e < 1. Как
показано на рис. 18.3, большая ось эллипса лежит на прямой
Θ
= α.
Шаг 9. Постройте несколько стандартных эллиптических орбит,
заданных уравнением (18.12) при различных значениях эксцентриситета,
размерах и ориентациях. Чтобы построить эллиптическую орбиту,
эксцентриситет которой равен e, а половина фокального параметра – L(рис.
18.3), повернутую на угол α, можно воспользоваться ее параметрическим
заданием в прямоугольных декартовых координатах:
x(t) = r(t)cos t, y(t) = r(t)sin
t, 0 ≤ t ≤ 2π.
Эксцентриситет орбиты Земли приблизительно равен e ≈ 0.0167, т.
е. настолько близок к нулю, что орбита является практически круговой (но
Солнце находится в фокусе, а не в центре), а значения эксцентриситетов
орбит других планет варьируются от 0.0068 Венеры и 0.0933 – для Марса,
до 0.2056 – для Меркурия и 0.2486 – для Плутона. Однако
эксцентриситет
орбит многих комет значительно больше. Например, эксцентриситет
орбиты кометы Галлея e ≈ 0.97 (рис. 18.4)
1
.

1
Изложенный выше метод решения задачи двух тел с физической точки зрения содержит некоторые
упрощения. Не учитывается, например, притяжение Солнца планетой. С учетом этого притяжения задачу
двух тел можно решить, сведя ее к задаче о движении одного тела. Для этого необходимо рассматривать
центр масс системы двух тел и их приведенную массу.

Страницы