Составители:
131
где h – постоянная. Элемент площади в полярных координатах, который
позволяет вычислить площадь A(t), заштрихованную на рис. 18.2, равен dA
= r
2
d
Θ
/2. Поэтому из уравнения (18.8) следует, что производная A
′
(t)
постоянна, а это и есть второй закон Кеплера
1
.
Шаг 5. Приравняйте радиальные компоненты уравнений (18.5) и
(18.6), а затем с помощь равенства (18.8), покажите, что расстояние
планеты от начала координат (радиальная координатная функция) r(t)
удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:
22
23 2
.
dr h k
dt r r
−=−
(18.9)
Шаг 6.
Предположив, что уравнение орбиты можно записать в
полярных координатах
2
в виде r = r(
Θ
), используя цепное правило и
уравнение (18.8), покажите, что если r = 1/z, то:
.
dr dz
h
dt d
=−
Θ
Продифференцировав еще раз, с помощью уравнения (18.9)
покажите, что функция z(
Θ
) = 1/r(
Θ
) удовлетворяет уравнению:
1
Поскольку момент величества движения материальной точки равен удвоенной массе точки,
умноженной на вектор секторной скорости, то из постоянства момента количества движения
материальной точки (первый интеграл дифференциальных уравнений движения в векторном виде)
следует постоянство вектора секторной скорости. А поскольку секторная скорость измеряется
плоскостным элементом, заметаемым радиусом – вектором, то отсюда следует теорема
площадей: если
материальная точка движется под действием центральной силы, то ее секторная скорость – постоянный
вектор. Вот эквивалентная формулировка этой теоремы: при движении материальной точки под
действием центральной силы ее радиус – вектор за любые одинаковые промежутки времени описывает
одинаковые плоскостные элементы. Второй закон Кеплера является частным случаем теоремы
площадей. (Заметьте, что и
первый, и второй интегралы дифференциальных уравнений движения были
получены лишь в предположении, что на материальную точку действует центральная сила. Конкретный
вид этой силы при выводе интеграла не имеет значения.
2
Мы уже вывели закон площадей r
2
d
Θ
/dt = h. Поскольку полярный радиус положителен, то из закона
площадей следует, что полярный угол изменяется монотонно, если h ≠ 0. А тогда (по теореме о неявной
функции) функция, выражающая зависимость полярного угла от времени, т.е. функция
Θ
=
Θ
(t), имеет
обратную функцию t = t(
Θ
). Из этого немедленно следует, что траектория движения может быть
представлена в полярных координатах уравнением вида r = r(
Θ
).
(r(0),
Θ
(0))
(r(t),
Θ
(t))
Рис. 18.2. Площадь, которую
описывает (заметает) радиус вектор
.
A(t)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- …
- следующая ›
- последняя »
