Составители:
130
вектора), и перпендикулярный ему единичный вектор (они изображены на
рис. 18.1) соответственно равны
1
:
u
r
= icos
Θ
+ jsin
Θ
и u
Θ
= – i sin
Θ
+ j cos
Θ
. (18.3)
Единичный полярный радиус
u
r
, приложенный к планете, всегда
направлен от начала координат, а перпендикулярный ему единичный
вектор
u
Θ
получается из него вращением u
r
против часовой стрелки на 90
0
.
Шаг 1. Продифференцируйте уравнения (18.3) покомпонентно и
покажите, что:
r
du
d
u
dt dt
Θ
Θ
=
и
r
du
d
u
dt dt
Θ
Θ
=−
. (18.4)
Шаг 2. Используя уравнения (18.4), продифференцируйте радиус–
вектор планеты
r=ru
r
и таким образом покажите, что ее вектор скорости
равен:
v = dr/dt = u
r
dr/dt + rd
Θ
/dtu
Θ
. (18.5)
Шаг 3. Продифференцировав еще раз, покажите, что вектор
ускорения планеты
a= dv/dt равен:
a =
2
2
2
dr d
r
dt dt
⎡⎤
Θ
⎛⎞
−
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
u
r
+
2
1 dd
r
rdt dt
⎡
Θ⎤
⎛⎞
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
u
Θ
. (18.6)
Шаг 4. Радиальные и перпендикулярные компоненты в правых частях
уравнений (18.5) и (18.6) должны совпадать, Приравняв перпендикулярные
к радиус-вектору компоненты, получим:
2
1 dd
r
rdt dt
⎡Θ⎤
⎛⎞
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
= 0. (18.7)
Отсюда следует, что:
2
d
rh
dt
Θ
=
, (18.8)
1
Иными словами, векторы u
r
и u
Θ
являются ортами полярной системы координат.
y
x
(r(t),
Θ
(t))
u
Θ
u
r
Рис. 18.1. Единичный полярный радиус u
r
и
перпендикулярный ему единичный вектор
u
Θ
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- …
- следующая ›
- последняя »
