Составители:
Рубрика:
137
Умножим ограничения-неравенства (3.32) соответственно на
y
1
,
y
2
,...,
y
m
,
тогда при
условии (3.41) все они превратятся в равенства
.,...,2,1,
1
mixayyb
n
j
jijiii
==
∑
=
Суммируя эти равенства, получим:
.
,111
∑∑∑∑
==
=== ji
ijij
n
j
jij
m
i
i
m
i
ii
yxaxayyb
(3.43)
Аналогично из ограничений-неравенств (3.34), при условии (3.42), мы имеем
∑ ∑ ∑ ∑
= = =
==
n
j
n
j
m
i ji
ijijiijjjj
yxayaxxc
1 1 1 ,
,
(3.44)
а равенства (3.43) и (3.44) показывают, что
.
11
∑∑
==
=
m
i
ii
n
j
jj
ybxc
поэтому в силу теоремы 1 допустимые решения
x
1
,
x
2
,
...,
х
п
и
y
1
,
y
2
,...,
y
m
являются
оптимальными решениями
.
Наоборот, если допустимые решения
x
1
,
x
2
,
...,
х
п
и
y
1
,
y
2
,...,
y
m
являются
оптимальными решениями, то значения целевых функций при этих решениях должны
быть одинаковы, т. е. неравенство (3.35) должно быть равенством:
∑∑ ∑
==
==
m
i
ii
n
j ji
ijijjj
ybyxaxc
11 ,
.
(3.45)
Из соотношения (3.45) получаем два равенства:
∑ ∑ ∑
= = =
=
n
j
n
j
m
i
iijjjj
yaxxc
1 1 1
,
∑∑∑
===
=
n
j
jij
m
i
i
m
i
ii
xayyb
111
или
,0
11
=
−
∑∑
==
m
i
jiij
n
j
j
cyax
(3.46)
.0
11
=
−
∑∑
==
n
j
iiji
m
i
i
xaby
(3.47)
Поскольку числа
x
1
,
x
2
,
...,
х
п
и
y
1
,
y
2
,...,
y
m
являются допустимыми, слагаемые сумм
(3.46) и (3.47) неотрицательны. Но сумма неотрицательных чисел может равняться нулю
только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Следовательно,
.всехдля0
1
jcyax
m
i
jiijj
=
−
∑
=
(3.48)
ixaby
n
j
jijii
всехдля0
1
=
−
∑
=
(3.49)
откуда следуют условия теоремы (3.41) и (3.42).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- …
- следующая ›
- последняя »
