Автоматизация технологического проектирования РЭС. Королев А.П - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Интересно отметить следующие особенности: система энергетических
уровней дискретна с постоянным интервалом, равным hω. Минимальная
энергия, соответствующая нулевому уровню составляет hω/2. Состояние с
нулевой энергией отсутствует, и это есть следствие соотношения неопреде-
ленностей, так как если частица будет находиться на самом дне потенци-
альной ямы, то это будет означать, что ее координата и импульс одновре-
менно точно определены, что невозможно.
Решение уравнения Шредингера даже для таких простых физических
систем, как атом водорода представляет собой достаточно сложную мате-
матическую задачу. Естественно, что при увеличении числа частиц в сис-
теме это решение еще более усложнится. В настоящее время нет точных
решений уравнения Шредингера для систем многих частиц, т.е. для систем
более сложных, нежели чем молекулярный ион
+
2
Н . Именно поэтому особое
значение приобретают способы приближенного решения уравнения Шре-
дингера, которых известно довольно много, но которые можно разделить
на две большие группы: методы теории возмущений и вариационные мето-
ды. Ниже мы рассмотрим основные принципы построения этих методов.
Основная идея теории возмущений состоит в том, что все взаимодей-
ствия в системе можно условно разделить на «основные» и «второстепен-
ные» по каким-либо признакам, например – энергетическим. В ряде случа-
ев такие качественные соображения позволяют внести в исходный опера-
тор Гамильтона какие-либо изменения, позволяющие свести исходную за-
дачу к существенно более простой, допускающей точное решение. Однако
после того как было получено решение модельной задачи с упрощенным
Гамильтонианом, необходимо все-таки учесть отброшенные поправки. Ре-
шением таким способом и занимается теория возмущений, позволяющая
явным образом описать изменение («возмущение») решений уравнения
Шредингера при малом изменении Гамильтониана.
Вторым, не менее мощным методом нахождения решений уравнения
Шредингера является вариационный метод, который в отличие от теории
возмущений основан не на упрощении гамильтониана, а на упрощении
волновой функции. Основная идея вариационного метода проста: с одной
стороны, согласно постулатам квантовой механики полную энергию систе-
мы мы можем рассчитать как
ψψ
ψψ
=
H
E
, (2.5)
а с другой стороны, согласно общим физическим принципам, любая систе-
ма стремится к состоянию с минимальной энергией. Поэтому если мы по-
следовательно будем рассчитывать интегралы (2.5) с различными пробны-
ми функциями Ф, то тогда та функция, которая даст минимальное значение
Е может в каком-то приближении считаться решением уравнения Шредин-
гера. Естественно, что вручную перебрать достаточно большое количество
функций невозможно, однако задачу можно оптимизировать, так как она во
многом напоминает задачу нахождения экстремума какой-либо функции.
Действительно, мы должны отыскать минимум функции от функции или
функционала (2.5) относительно изменений пробных функций Ф. Введем,
по аналогии с дифференциалом, понятие «вариация функции» (или вариал),
т.е. какое-либо допустимое ее изменение, для которого формально выпол-
няются все те правила, что и для дифференциала. Тогда задачу поиска ре-
шений уравнения Шредингера можно сформулировать как задачу поиска
экстремальных точек функционала энергии относительно вариаций функции
Ф
0=
ψψ
ψψ
δ=δ
H
E . (2.6)
Поскольку исследовать все функции нельзя, то задача de facto сводит-
ся к двум проблемам:
– определение класса пробных функций;
– поиск в указанном классе оптимальной в смысле энергии функции.
Вариационный метод хорош тем, что допускает систематическое
уточнение, а именно: если мы рассматриваем класс пробных функций, то
минимальное значение Е может только уменьшаться, или, во всяком слу-

Страницы