Проектирование реляционных баз данных. Ковалев А.В - 30 стр.

по множеству всех пар. Если необходимо сохранить связь со всеми узлами сети, требуется бо-
лее жесткое определение, а именно, вероятность отказа сети f, которая определяет вероятность
потери связи с любым из ее узлов.
       При рассмотрении отказов только линий сеть из m линий может находиться в одном из
 m
2 состояний в зависимости от того, исправна или нет каждая из ее линий. Вероятность каждо-
го из этих состояний сети зависит от того, сколько линий вышло из строя, так как вероятности
отказа отдельных линий считаются одинаковыми. Верхнее уравнение в подписи к рис. 10 пред-
ставляет собой биномиальное разложение, в котором сумма вероятностей различных состояний
равна единице. Первое слагаемое этой суммы является вероятностью безотказной работы всех
линий сети. Имеется 5 вариантов отказа одной линии, что дает коэффициент 5 при втором чле-
не. Существует 10 различных комбинаций одновременного отказа двух линий и т.д.


                                    1                               2




                                   3                               4


      Рис. 10. Точное вычисление вероятности отказа:
             (1-p)5 + 5p(1-p)4 + 10p2(1-p)3 + 10p3(1-p)2 + 5p4(1-p) + p5 = 1;
             f = 2p2(1-p)3 +10p3(1-p)2 +5p4(1-p) + p5.

       Для определения вероятности отказа сети необходимо знать, какие из этих состояний
отказа приводят к разъединению сети. Нижнее уравнение (рис. 10) описывает вероятность отка-
за сети f. Для отделения хотя бы одного узла сети должны нарушиться как минимум две связи,
поэтому первое ненулевое слагаемое в выражении для f содержит p2. Коэффициент при этом
слагаемом определяется тем, сколько пар отказов из 10 возможных отказов двух линий приве-
дут к разъединению сети. На рисунке имеются две такие пары; они выделены утолщенными
линиями. Это дает коэффициент 2 в выражении для f. Поскольку в любом случае отказа 3, 4 и 5
линий происходит разъединение сети, коэффициенты при этих слагаемых те же, что и в верх-
нем уравнении, которое описывает всевозможные состояния. Таким образом, вероятность отка-
за сети f можно выразить полиномом от p, рассматривая все сечения сети. Рис. 10 поясняет не-
посредственный метод подсчета вероятностей.
       Другой инженерный способ расчета надежности сети можно дать через вероятность отка-
за сети между некоторой парой узлов s и t, т.е. вероятность f(s,t) того, что между этими узлами
не окажется ни одного пути. Рассмотрим пример (рис. 11). Отказ одной линии не может при-
вести к разъединению сети, соединяющей s и t, поэтому в выражении для вероятности отказа
сети не будет членов, содержащих р в первой степени. Количество различных сечений из двух
линий, разъединяющих s и t, определяет коэффициент при p2. Таких сечений всего 6, и они по-
казаны штриховой линией. В подписи приведено приближенное выражение для f(s,t). Множи-
тель, обусловленный вероятностью исправности линий, не включен, так как нет членов, содер-
жащих более высокие степени р. Для типичных вероятностей отказов линий современных сетей
часто достаточно использовать лишь первый член разложения. Существует риск значительной
ошибки, если число состояний с отказами трех линий велико (сети с лестничной топологией).


                                                     32