Программирование и алгоритмизация: Сборник учебно-исследовательских лабораторных работ. Ковальногов В.Н - 22 стр.

UptoLike

22
0
x
1 i–1 i i+1 n
x t
t’
i
t
i
t
i-1
t
i+1

= 0
Рис. 3. Схема разбиения тела на расчетные элементы при численном
расчете одномерного температурного поля
Выразим производные, входящие в уравнение (44), через отношения ко-
нечных разностей в виде:
; ; ;
1
2
1
1
x
tt
x
t
x
tt
x
t
tt
t
iiiiii
(1.49)
2
11
12
2
2
2
1
x
ttt
x
t
x
t
xx
t
xx
t
iii
. (1.50)
Здесь i номер расчетной точки;
ii
tt
, значения температуры в точке i в
моменты времени
и
соответственно;
шаг интегрирования по
времени;
шаг интегрирования по пространственной переменной; n ко-
личество расчетных точек;
половина толщины пластины.
Подставив выражения (49), (50) в исходное уравнение (44) и проведя не-
сложные преобразования, получим выражение для определения температуры в
любой внутренней точке ni 1 в момент времени
:

11
22
2
1
iiii
tt
x
a
x
a
tt
. (51)
Температура в точках 1i и ni
для всех моментов времени задается в
граничных условиях однозначности задачи:
211
;
wnw
tttt
. Температура
i
t во
всех расчетных точках ni 1 в начальный момент времени 0
задается в
начальных условиях однозначности:
0
tt
i
.
Шаг интегрирования
(или однозначно связанное с ним число расчет-
ных точек n ) выбирается из условия обеспечения требуемой точности вычис-
лений (чем меньше
, тем выше точность, но тем больше трудоемкость расче-
тов). Шаг интегрирования
определяется из условия устойчивости разност-
ного уравнения
1
(51):
a
x
2
2
. (52)
1
Разностное уравнение называют иногда разностной схемой.