Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

134
В данном методе градиент целевой функции вычисляется в каждой точке
траектории спуска, увеличивая объем вычислений
(
)
(
)
nn1n
xfgradnxx
r
δ−=
+
.
Метод наискорейшего спуска, являющийся модификацией градиентного
спуска, уменьшает количество расчетов. Согласно этому методу, после опреде-
ления в начальной точке направления, противоположного градиенту целевой
функции, в этом направлении делают не один шаг, а двигаются до тех пор пока
целевая функция убывает, достигая, таким образом, минимума в некоторой
точке. В этой точке снова определяют направление спуска (с помощью гради-
ента) и ищут новую точку минимума целевой функции и т. д. Поэтому спуск
здесь происходит более крупными шагами, и градиент функции вычисляется в
меньшем числе точек.
7.3.2. Задачи с ограничениями
Решение условных задач оптимизации (задач с ограничениями) более тру-
доемко по сравнению с задачами безусловной оптимизации, так как ограниче-
ния типа равенств или неравенств требуют их учета на каждом шаге оптимиза-
ции. Поэтому их решение стремятся свести к решению последовательности за-
дач безусловной оптимизации.
На этом основан и метод штрафных функций.
Сущность метода состоит в следующем.
Пусть f(x
1
, x
2
, …, x
n
) – целевая функция, для которой нужно найти мини-
мум m в ограниченной области D (x
1
, x
2
, …, x
n
є D). Заменим данную задачу за-
дачей о безусловной оптимизации (минимизации) однопараметрического се-
мейства функций
( ) ( ) ( ) { }
.x...,,x,xx,x
1
xf,xF
n21
=ϕ
β
+=β (100)
При этом дополнительную (штрафную) функцию φ(х) выберем таким
образом, чтобы при β → 0 решение вспомогательной задачи стремилось к ре-
шению исходной или, по крайней мере, чтобы их минимумы совпадали: min
F(x, β) → m при β → 0.
Штрафная функция φ(х) должна учитывать ограничения, которые задаются
при постановке задачи оптимизации. В частности, если имеются ограничения-
неравенства вида g
j
(x
1
, x
2
, …, x
n
) ≥ 0 (j = 1, 2, …, J), то в качестве штрафной
можно взять функцию, которая: 1) равна нулю во всех точках пространства
проектирования, удовлетворяющих заданным ограничениям-неравенствам; 2)
стремится к бесконечности в тех точках, в которых эти неравенства не выпол-
няются. Таким образом, при выполнении ограничений-неравенств функции f(x)
и F(x, β) имеют один и тот же минимум.

Страницы