Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

135
Если хотя бы одно неравенство не выполнится, то вспомогательная целе-
вая функция F(x, β) получает бесконечно большие добавки, и ее значения дале-
ки от минимума функции f(x). Другими словами при несоблюдении ограниче-
ний-неравенств на целевую функцию налагается «штраф». Отсюда и термин
«метод штрафных функций».
Рассмотрим случай, когда в задаче оптимизации заданы ограничения двух
типов – равенства и неравенства:
g
i
(x) = 0, i = 1, 2, …, I;
h
j
(x) > 0, j = 1, 2, …, J; х = {x
1
, x
2
, …, x
n
}. (101)
В этом случае в качестве вспомогательной целевой функции, для которой
формируется задача безусловной оптимизации во всем n-мерном пространстве,
принимают функцию
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
−+
β
+=β
∑ ∑
= =
I
1i
J
1j
j
2
j
2
i
xhsign1xhxg
1
xf,xF , β > 0, (102)
где sign(x) – «сигнум», т. е. функция от действительных переменных, равная + 1
для положительных х, принимающая значение нуль при х = 0 и равная – 1 для
отрицательных х.
Здесь взята такая штрафная функция, что при выполнении условий (101)
она обращается в нуль. Если же эти условия нарушены (т. е. g
i
(x) ≠ 0, h
j
(x) < 0
и sign h
j
(x) = – 1), то штрафная функция положительна. Она увеличивает целе-
вую функцию f(x) тем больше, чем больше нарушаются условия (101).
При малых значениях β вне области D функции F(x, β) сильно возрастает.
Поэтому ее минимум может быть либо внутри D, либо снаружи вблизи границ
этой области. В первом случае минимумы функций F(x, β) и f(x) совпадают,
так как дополнительные члены в (102) равны нулю. Если минимум функции
F(x, β) находится вне D, то минимум целевой функции f(x) лежит на границе D.
При этом можно построить такую последовательность β
k
→ 0, что соответст-
вующая последовательность минимумов функции F(x, β) будет стремиться к
минимуму функции f(x).
Таким образом, задача оптимизации для целевой функции f(x) с ограниче-
ниями (101) свелась к последовательности задач безусловной оптимизации для
вспомогательной функции (102), решение которых может быть проведено с по-
мощью методов спуска. При этом строится итерационный процесс при β → 0.
Рассмотрим алгоритм, реализующий метод штрафных функций (рис. 7.9).
В качестве исходных данных вводятся начальное приближение искомого
вектора
{
}
*
n
*
2
*
1
*
х,...,х,хх = , начальные значения параметра β и ε, характери-
зующие точность расчета.

Страницы