ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30
2.3. Метод простых итераций в нахождении корней уравнения
с нелинейной характеристикой
Пусть нам известно уравнение с нелинейной характеристикой y = f(x) для
нахождения параметров технологической системы. Требуется найти такое зна-
чение входного параметра x, при котором выполняется условие y = f(x) = 0.
В соответствии с первым этапом реализации итерационных методов (см. п.
2.1) установим точку начального приближения x
0
к искомому решению (корню)
x
K
уравнения с нелинейной характеристикой. Для этого строим график рас-
сматриваемой функции y = f(x) и графически установим значение входного па-
раметра x
0
, при котором выполняется условие – y = f(x
0
) ≈ 0.
Для реализации второго этапа (уточнения значения корня с заданной сте-
пенью точности Е) необходимо от исходного нелинейного уравнения f(x) = 0
перейти к эквивалентному уравнению вида x = φ(x). Переход осуществляется
умножением левой и правой части уравнения f(x) = 0 на произвольную посто-
янную K и прибавлением к обеим частям уравнения значения x:
K
0
x
)
x
(
f
K
x
⋅
+
=
⋅
+
.
После преобразований в итоге получаем:
)
x
(
x
ϕ
=
, (3)
где
)
x
(
f
K
x
)
x
(
⋅
+
=
ϕ
. Значение произвольной постоянной K устанавливается
подбором, исходя из выполнения условия: 0 <│φ′(x)│< 1, при этом сходимость
итерационного процесса будет двухсторонней. Производную φ′(x) можно опре-
делить по формуле:
)
x
(
'
f
K
1
)
x
(
'
⋅
+
=
ϕ
. (4)
После приведения исходного уравнения f(x) = 0 к эквивалентному
)
x
(
f
K
x
x
⋅
+
=
, с применением последнего реализуется итерационный процесс.
Для нахождения уточненного значения корня в рамках первой итерации в пра-
вую часть уравнения, эквивалентного исходному, вместо x подставим x
0
(на-
чальное приближение):
)x(fKxx
001
⋅
+
=
,
где x
1
– уточненное значение корня с первой итерации. Если выполняется усло-
вие │f(x
1
)│≤ E и │f′(x
1
)│< 1, то искомое значение корня x
K
, будет соответство-
вать приближению x
1
с первой итерации (x
K
= x
1
), в противном случае находят
новое уточнение корня нелинейного уравнения, продолжая итерационный про-
цесс. Предположим, что │f(x
1
)│≤ E и │f′(x
1
)│< 1 не выполнились, тогда реали-
зуется вторая итерация, в рамках которой:
)x(fKxx
112
⋅
+
=
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
