ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
где x
2
– уточненное значение корня со второй итерации. Проверяется выполне-
ние условий │f(x
2
)│≤ E и │f′(x
2
)│< 1. Предположим, условия выполнялись,
следовательно, искомое значение корня x
K
будет соответствовать приближению
x
2
со второй итерации (x
K
= x
2
). Итерационный процесс завершен. Количество
итераций будет зависеть от правильности нахождения точки начального при-
ближения x
0
и произвольной постоянной К. Таким образом, итерационный про-
цесс метода простых итераций по зависимости )x(fKxx
1n1nn −−
⋅
+
=
, где x
n
–
уточненное значение корня с n-ой итерации, а x
n – 1
– уточненное значение кор-
ня с предыдущей (n – 1)-ой итерации, будет продолжаться до тех пор, пока не
выполнятся условия │f(x
n
)│≤ E и │f′(x
n
)│< 1. В соответствии с вышеизложен-
ным, алгоритм метода простых итераций может быть представлен в виде блок-
схемы на рис. 2.5. Осуществим практическую реализацию метода простых ите-
раций по постановке задачи (см. пример 8).
РЕШЕНИЕ. Из графика (см. рис. 2.3) видно, что точкой начального
приближения является точка 3 пересечения кривых 1 и 2. Значение усилия
растяжения болта в этой точке, решая задачу графически, соответствует 52 кгс
(N
0
= 52 кгс). Таким образом, первый этап метода простых итераций реализо-
ван. Перейдем к реализации второго этапа. Приведем исходное нелинейное
уравнение 03N18,0 =−⋅ к эквивалентному )3N18,0(KNN −⋅⋅+= . Уста-
новим значение коэффициента K. Для этого первоначально определим произ-
водную первого порядка эквивалентного уравнения
)
N
(
'
f
K
1
)
N
(
'
⋅
+
=
ϕ
, где
f’(N) – производная первого порядка исходного нелинейного уравнения:
.
5,05,0
5,05,05,05,05,0
5,0
N212,00N212,00
'3)N(424,0N'424,0'3)'N424,0('3)'N18,0(
'3)')N18,0(('3'N18,0)'3N18,0()N('f
−−
⋅=+⋅+=
=−
′
⋅+⋅=−⋅=−⋅
=−⋅=−⋅=−⋅=
Следовательно,
)N212,0(K1)N('
5,0−
⋅⋅+=ϕ .
Выберем
значение
произволь
-
ной
постоянной
K
равным
«
10
−
» (
10
K
−
=
)
и
при
N = N
0
= 52
рассчитаем
φ
′(N):
706,0)52212,0()10(1)52('
5,0
=⋅⋅−+=ϕ
−
.
Проверим
выполнение
условия
0 <
│φ
′(N)
│
< 1,
т
.
е
. 0 <
│φ
′(52)
│
< 1.
Условие
выполняется
(0 <
│
0,706
│
< 1),
сле
-
довательно
,
произвольная
постоянная
выбрана
правильно
.
Реализуем
первую
итерацию
,
в
рамках
которой
)3N18,0(KNN
001
−⋅⋅+= .
После
подстановки
в
правую
часть
уравнения
52N
0
=
,
10
K
−
=
получаем
: N
1
= 51,406
кгс
.
Проверим
выполнение
условий
│
f(N
1
)
│
≤
E
и
│
f′(N
1
)
│
< 1,
где
E
=
0,01.
Рассчитаем
зна
-
чение
функции
и
ее
производной
при
N
1
=51,406
кгс
: f(51,406) = 0,0418,
f′(51,406) = 0,0295,
следовательно
,
условие
│
0,0418
│≤
0,01
не
выполняется
,
а
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
