Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

74
5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ВЫХОДНЫХ
ПАРАМЕТРОВ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Численное интегрирование применяют при решении задач машинострое-
ния, связанных с определением площади поверхности заготовок или элементов
конструкции машин сложной формы.
Рассмотрим сущность численного интегрирования (рис. 5.1).
Пусть на отрезке [a, b] задана
функция y = f(x). С помощью точек x
0
,
x
1
, ..., x
n
разобьем отрезок на n – эле-
ментарных отрезков [x
i-1
, x
i
] (i = 1, 2, ...,
n), причем x
0
= a, x
n
= b. На каждом из
этих отрезков выберем произвольную
точку ξ
i
(x
i-1
≤ ξ
i
≤ x
i
) и найдем произве-
дение S
i
значения функции в этой точке
f(ξ
i
) на длину элементарного отрезка ∆x
i
= x
i
– x
i-1
:
S
i
= f (ξ
i
)∆x
i
. (14)
Составим сумму всех таких произведений:
S
n
= S
1
+ S
2
+ ... + S
n
=
∑
=
n
1
i
f (ξ
i
)∆x
i
. (15)
Сумма S
n
называется интегральной суммой.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется
предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбие-
ния, при этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
∫
b
a
f (x) dx = ℓim
∑
=
n
1
i
f (ξ
i
)∆x
i
(16)
при max ∆x
i
→ 0.
Теорема существования определенного интеграла: Если функция f(x)
непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит
ни от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки, ни от выбора
точек ξ
i
.
Геометрический смысл интеграла при f(x) > 0 заключается в следующем.
Абсциссами точек М
i
являются значения ξ
i
, а ординатами – значения f(ξ
i
).
Выражения (14) при i = 1, 2, ..., n описывают площади элементарных прямо-
угольников, а интегральная сумма (15) – площадь ступенчатой фигуры, обра-
зуемой этими прямоугольниками.
Рис. 5.1. Геометрическая интер-
претация численного интегриро-
вания

Страницы