Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

75
При неограниченном увеличении числа точек деления и стремлении к ну-
лю всех элементов ∆x
i
, верхняя граница фигуры (ломаная) переходит в линию
y = f(x).
Площадь полученной фигуры, которую называют криволинейной трапеци-
ей, равна определенному интегралу (17).
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитиче-
ском виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно с по-
мощью неопределенного интеграла (первообразной) по формуле Ньютона-
Лейбница. Она представляет определенный интеграл в виде приращения пер-
вообразной F(x) на отрезке интегрирования:
∫
b
a
f (x) dx = F(x)
b
a
= F(b) – F(a). (16)
Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум
основным причинам:
1) вид функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е.
первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;
2) значения функции f(x) заданы только на фиксированном конечном мно-
жестве точек x
i
, т. е. функция задана в виде таблицы.
В этих случаях используются методы численного интегрирования, осно-
ванные на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми простыми
выражениями, например многочленами.
В зависимости от способа вычисления подынтегральной функции разли-
чают методы прямоугольников, трапеции, парабол и пр.
Простейшим методом численного интегрирования является метод прямо-
угольников.
При его реализации непосредственно используют замену определенного
интеграла интегральной суммой (15). При этом в качестве точек ξ
i
могут выби-
раться левые (ξ
i
= x
i-1
) или правые (ξ
i
= x
i
) границы элементарных отрезков.
Обозначая f(x
i
) = y
i
, ∆x
i
= h
i
, получим следующие формулы метода прямо-
угольников соответственно для этих двух случаев:
∫
b
a
f (x) dx = h
1
y
0
+ h
2
y
1
+ ... + h
n
y
n-1
, (18)
∫
b
a
f (x) dx = h
1
y
1
+ h
2
y
2
+ ... + h
n
y
n
. (19)
Пример 12. Составить программу для определения площади заготовки,
контур которой ограничен кривой y = x
2
на отрезке x ∈ [0; 10], методом левых
прямоугольников.
Алгоритм программы представлен на рис. 5.2.
Program Integral;

Страницы