ВУЗ:
Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го поряд-
ка называется следующее уравнение, которое содержит одну или не-
сколько производных от искомой функции y(x):
() ()
(
)
1
, , ', ... , , 0
nn
Gxyy y y
−
=
где обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x –
это независимая переменная.
()
n
y
Решением обыкновенного дифференциального уравнения называ-
ется такая функция
y(x), которая при любых х удовлетворяет этому
уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Про-
цесс решения дифференциального уравнения называют интегрировани-
ем дифференциального уравнения.
Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных кон-
стант
C1, C2, …, Cn
(
)
12
, , , , ... ,
n
yfxyCC C=
Частное решение ОДУ получается из общего, если константам ин-
тегрирования придать некоторые значения, определив некоторые до-
полнительные условия, количество которых позволяет вычислить все
неопределенные константы интегрирования.
Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференци-
ального уравнения подразумевает получение искомого решения (функ-
ции
y(x)) в виде выражения от элементарных функций.
Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функ-
ции
y(x) и ее производных в некоторых заданных точках x
1
,x
2
,…,x
N
, ле-
жащих на определенном отрезке.
4.3.1. Метод Эйлера
Простейшим численным методом решения обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений является метод Эйлера. В его основе лежит ап-
проксимация производной отношением конечных приращений зависимой
(
y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки
1
1
'
ii
ii
dy y y y
yF
dx x x x
+
+
Δ
−
=≈= =
Δ−
,
где
y
i+1
– это искомое значение функции в точке x
i+1
.
Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность
сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой
можно вычислить
y
i+1
, если известно y
i
в точке х
i
:
(
)
1
,
ii ii
yyFxy
+
h
=
+⋅
52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
