ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
МЛ-1/1
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы – определение декремента, логарифмического декре-
мента и коэффициента затухания крутильных колебаний тела при наличии
линейного сопротивления среды.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, совершающую ма-
лые колебания при наличии в среде вязкого трения. Колебания в такой
среде со временем затухают. Силы вязкого трения, вообще говоря, доволь-
но сложным образом зависят от скорости, однако во многих случаях, когда
скорость движения тела достаточно мала, можно считать, что сила сопро-
тивления зависит от скорости линейно. Обозначив через х смещение тела
из положения равновесия и учитывая, что возвращающая сила равна –kx,
можно уравнение движения тела записать следующим образом:
xrkxxm
&
&
&
-
-
=
, (1)
где r – коэффициент сопротивления среды. Вводя обозначения
m
k
=
2
0
w
,
m
r
2
=
d
, (2)
перепишем уравнение (1) в виде
02
2
0
=++ xxx
wd
&
&
&
. (3)
Решение линейного дифференциального уравнения (3) в случае ма-
лого трения (δ < ω
0
) имеет вид (проделайте это решение сами)
0
cos(),
t
xaet
d
wa
-
=+
(4)
где a
0
и α – постоянные, определяемые из начальных условий, а величина
ω равна
22
0
.
wwd
=-
(5)
Движение, подчиняющееся закону (3), можно лишь условно рас-
сматривать как периодическое с частотой (5) и периодом
22
0
2
dw
p
-
=T
, (6)
т. к. амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциально-
му закону
0
.
t
aae
d
-
=
(7)
Из последнего выражения виден смысл постоянной a
0
– это амплиту-
да колебания в начальный момент t = 0. Вторая постоянная α в законе движе-
ния (4), очевидно, имеет смысл начальной фазы затухающего колебания.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
МЛ-1/1
ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы – определение декремента, логарифмического декре-
мента и коэффициента затухания крутильных колебаний тела при наличии
линейного сопротивления среды.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, совершающую ма-
лые колебания при наличии в среде вязкого трения. Колебания в такой
среде со временем затухают. Силы вязкого трения, вообще говоря, доволь-
но сложным образом зависят от скорости, однако во многих случаях, когда
скорость движения тела достаточно мала, можно считать, что сила сопро-
тивления зависит от скорости линейно. Обозначив через х смещение тела
из положения равновесия и учитывая, что возвращающая сила равна –kx,
можно уравнение движения тела записать следующим образом:
m �x� � � kx � r x� , (1)
где r – коэффициент сопротивления среды. Вводя обозначения
k r
� 02 � , � � , (2)
m 2m
перепишем уравнение (1) в виде
�x� � 2 � x� � � 02 x � 0 . (3)
Решение линейного дифференциального уравнения (3) в случае ма-
лого трения (δ < ω0) имеет вид (проделайте это решение сами)
x � a0 e �� t cos(� t � � ), (4)
где a0 и α – постоянные, определяемые из начальных условий, а величина
ω равна
� � � 02 � � 2 . (5)
Движение, подчиняющееся закону (3), можно лишь условно рас-
сматривать как периодическое с частотой (5) и периодом
2�
T� , (6)
� 02 � � 2
т. к. амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциально-
му закону
a � a 0e �� t . (7)
Из последнего выражения виден смысл постоянной a0 – это амплиту-
да колебания в начальный момент t = 0. Вторая постоянная α в законе движе-
ния (4), очевидно, имеет смысл начальной фазы затухающего колебания.
3
