Теория плотнейших шаровых упаковок и плотных шаровых кладок. Кузьмичева Г.М. - 22 стр.

                                        22
           Размеры и координационные числа пустот

     Тетраэдрические и октаэдрические пустоты плотнейшей упаковки
различаются по своим размерам и координационным числам. Атом, помещенный в
тетраэдрическую пустоту, имеет четырех ближайших соседей и, седовательно,
находится в четверной координации, в то время как атом, находящийся в
октаэдрической пустоте, обладает шестерной координацией. Поэтому плотнейшую
упаковку из координационных тетраэдров и октаэдров, вместо того чтобы
рассматривать ее как упаковку самих шаров.
     Размеры пустоты характеризуются радиусом сферы, которая может точно
уместиться в пустоте.
     Рассмотрим тетраэдрическую пустоту (Рис. 3 а), окруженную четырьмя
шарами радиуса R. Центры сфер лежат в вершинах правильного тетраэдра с ребром
a=2R. Обозначим через r радиус сферы, которая точно умещается в этой пустоте.
Ее центр O должен быть равноудален от всех вершин тетраэдра, а длина связи p =
r + R. Высота BQ = h связана с величиной ребра a следующим уравнением: р =
2a/ 3. Из прямоугольного треугольника OPQ получаем:

OQ=BQ-BO = h - p, OR=p, QR = 2/3asin60 = h/ 2, p2 = (h - p)2 + h2/2, p = 3/4h

     Таким образом, длины связей для атома, помещенного в тетраэдрическую
пустоту плотнейшей упаковки, равны трем четвертям толщины слоя. Подставяя r и
R в выражения для p и h, получим r+R=(3 2/4 3)2R, r=R( 3 - 2)/ 2=0.225R.
     Это выражение определяет радиус сферы, характеризующей размеры
тетраэдрической пустоты.
     В октаэдрической пустоте (Рис. 3 б) сфера, точно в ней умешающаяся, должна
касаться шести шаров: трех из нижележащего и трех вышележащего слоя. Точка O
представляет собой центр сферы, заключенной внутри пустоты. Длина связей в
этом случае составяет OA = p = r + R. Легко видеть, что p2=(h/2)2 + (2/3asin60 )2, p
= 3h/2.
     Длина связи для атома, помещенного в октаэдрическую пустоту в плотнейшей
упаковке, равна поэтому 0.88 от расстояния между слоями. Заменяя p = r + R и h =
( 2/ 3)R, получим r + R = 2R, r =( 2 - 1)R = 0.414R.
     Таким образом определяется радиус сферы, характеризующей размеры
октаэдрической пустоты.
     На самом деле катионы, размещаясь в пустотах плотнейших упаковки и
плотных кладок из анионов, не могут "болтаться" в этих промежутках, а, наоборот,
расталкивают шары.