Теория плотнейших шаровых упаковок и плотных шаровых кладок. Кузьмичева Г.М. - 4 стр.

                                          4
     Третий слой можно наложить двумя способами:
     - шары над первым слоем - гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ) (пр.
гр. P63/mmc, z=2) (Рис. 1) и объемноцентрированная кубическая кладка (ОЦК) (пр.
гр. Im3m, z=2) (Рис. 2),
      -шары в лунках второго сорта- кубическая плотнейшая упаковка (КПУ), или
гранецентрированная кубическая упаковка (ГЦК) (пр. гр. Fm3m, z=4), причем шары
третьего слоя не проектируются на слои первого) (Рис. 1)

    Подобная альтернатива расположения шаров (в положении А, В или С)
возникает при укладке каждого слоя, и поэтому число плотнейших упаковок
бесконечно велико.
    Группа симметрии C3v = 3m положений В и С в исходном слое является
подгруппой для симметрии C6v = 6mm положений А, и поэтому минимальная
симметрия любой плотнейшей упаковки определеется комплексом C13v = P3m1.
Такой симметрией, в частности, характеризуется упаковка, получающаяся укладкой
слоев в порядке, совершенно произвольном, хаотическом.
    Если произвол в наложении слоев будет ограничен прежде всего некоторым
периодом повторяемости слоев А, В, С, то возникают периодические (n-слойные)
упаковки, симметрия которых может быть более высокой. Во всех случаях, однако,
эта симметрия должна быть кратной от C13v = P3m, причем эта группа есть
наибольший делитель для высшей группы симметрии. Таким образом, по
симметрии все многослойные плотнейшие упаковки относятся к 8
пространственным группам (пр. гр):


                 C13v=P3m1, C53v=R3m, D33d=P-3m1, D53d=R-3m,
               C46v=P63mc, D13h=P-6m2, D46h=P63/mmc, O5h=Fm3m.


    Симметрией O5h обладает единственная трехслойная плотнейшая упаковка
(КПУ или ГЦК): наложение исходных трех плотноупакованных двумерных слоев
дает такую укладку, что точно такие же слои в ней (и только в ней) можно
выделить по трем другим направлениям, как это видно из Рис. 1. Из семи
остальных перечисленных пространственных групп симметрии для каждой имеется
бесчисленное множество представителей среди упаковок различных периодов.