Экология. Кузнецов Л.М. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГЭУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

25
)(),(
)(),(
12122212
21211211
nanKnnZ
nanKnnZ
⋅−−=
⋅−
−
=
(33)
Для решения поставленной задачи необходимо рассмотреть все области
(n
1
, n
2
) и определить в них знаки Z
1
(n
1
,n
2
) и Z
2
(n
1
,n
2
). Логично вначале опреде-
лить точки плоскости, в которых Z
1
(n
1
,n
2
)=0 и Z
2
(n
1
,n
2
)=0, тогда во всех прочих
точках эти знаки либо (+) либо (–).
Геометрическое место точек на плоскости (n
1
, n
2
), в которых dn
1
/dt и
dn
2
/dt равны нулю, определяется решением Z
1
(n
1
,n
2
)=0 и Z
2
(n
1
,n
2
)=0 и графиче-
ски изображается двумя прямыми линиями. Это связано с тем, что согласно
выражению (33) функции Z
1
(n
1
,n
2
) и Z
2
(n
1
,n
2
) линейны.
Нас будут интересовать только неотрицательные значения переменных,
т.к. отрицательные их значения не имеют биологического смысла.
Производная dn
i
/dt>0, i=1,2, если Z
i
(n
1
,n
2
)>0, все точки фазовой плоскости,
удовлетворяющие этому неравенству, как нетрудно видеть из (33), располо-
жены ниже прямой Z
i
(n
1
,n
2
)=0. И наоборот, производная dn
i
/dt<0, i=1,2, если
Z
i
(n
1
,n
2
)<0 и все точки плоскости, удовлетворяющие такому неравенству
лежат выше прямой Z
i
(n
1
,n
2
)=0. Таким образом, в каждой точке положитель-
ного квадранта можно определить направление движения проходящего через
нее решения (траектории) системы уравнений с конкуренцией (32).
Очевидно, что характер поведения решений системы, а следовательно,
исход конкуренции, зависят от взаимного расположения на плоскости прямых
Z
1
=0 и Z
2
=0, которое в свою очередь зависит от соотношения параметров мо-
дели. Всего возможны 4 варианта их расположения на плоскости и соответст-
венно 4 исхода конкурентной борьбы. Фазовые портреты всех вариантов при-
ведены на рис. 6 - 9.
На этих рисунках значками +1 и -1 обозначаются области роста перемен-
ных, т.е. те части плоскости, для которых dn
1
/dt>0 и dn
2
/dt>0.
Значками -1 и -2 обозначаются области убыли переменных, т.е. те части
плоскости, где знаки соответствующих производных отрицательны.
Варианты 1 и 2 предполагают победу в конкуренции одного из видов, ва-
рианты 3 и 4 предполагают сосуществование видов, правда, в третьем варианте
такое сосуществование неустойчивое и исход конкуренции будет зависеть
здесь от начальных условий. В этом варианте
через начало координат и точку
пересечения прямых Z
1
=0 и Z
2
=0 следует провести прямую линию. Затем сле-
дует нанести на график точку, соответствующую начальным численностям по-
пуляций. Если данная точка окажется ниже проведенной соединяющей прямой,
то победит 1 вид, если выше - победит 2 вид и лишь если точка точно ляжет
на прямую, будет наблюдаться равновесие.

Страницы