Разностные методы решения задач теплопроводности. Кузнецов Г.В - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

66
Введем следующее обозначение:
(
)
.,,
,
n
jinji
TtyxT =
Дискретизацию уравнения (30) будем проводить на основе
локально одномерной схемы А.А. Самарского [2], которая является
абсолютно устойчивой и обладает свойством суммарной
аппроксимации. Сущность этого подхода состоит в том, что шаг по
времени реализуется в два этапа – на промежуточном временном шаге
проводим дискретизацию двумерного уравнения (30) только в
направлении оси х и получаем одномерное уравнение, после его
решения проводим вновь дискретизацию уравнения (30), но уже в
направлении оси у и, решая по
лученное одномерное уравнение,
определяем поле температуры на целом шаге по времени.
Итак:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅−
⋅λ=
τ
−
⋅⋅ρ
+
−
++
+
+
2
2
1
,1
2
1
,
2
1
,1,
2
1
,
2
x
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
h
TTTTT
с , (32)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅−
⋅λ=
τ
−
⋅⋅ρ
+
−
++
+
+
+
2
1
1,
1
,
1
1,
2
1
,
1
,
2
y
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
n
ji
h
TTTTT
с . (33)
Разностные уравнения (32), (33) сводятся к стандартному
трехдиагональному виду и решаются последовательно методом
прогонки (пункт 2.1.). Сначала для всей области решается уравнение
(32), после того как его решение будет найдено, переходят к решению
уравнения (33).
Рассмотрим решение уравнения (32) методом прогонки. Приведем
это уравнение к виду
i
n
jii
n
jii
n
jii
FTCTBTA =+−
+
−
++
+
2
1
,1
2
1
,
2
1
,1
. Тогда
коэффициенты
iii
CBA , ,
примут вид:
. ,
2
,
,
22
τ
⋅⋅ρ
−=
τ
⋅ρ
+
λ⋅
=
λ
==
n
ji
i
x
i
x
ii
Tc
F
c
h
B
h
CA
Для определения прогоночных коэффициентов по соотношению
(8) необходимо найти
11
и
β
α
из левого граничного условия. Далее
определяя значение
2
1
,
+n
jN
x
T
из правого граничного условия, находят поле
температуры
2
1
,
+n
ji
T
на промежуточном временном слое по формулам (7).
После этого приступают к решению уравнения (33). Этапы решения
уравнения (33) аналогичны решению уравнения (32).

Страницы