Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Лаврова Т.Б. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12
отождествлении тензоров различных типов. Метрический тензор . Спуск и
подъем индексов. Сопряженные операторы. Самосопряженные операторы
.
Спектральные свойства самосопряженных операторов. Ортогональная
диагонализируемость самосопряженных операторов. Минимаксное свойст-
во собственных значений самосопряженных операторов. Положительные
операторы. Изометрические операторы. Полярное разложение обратимых
операторов. Геометрическая интерпретация полярного разложения.
Диадное представление тензоров второго ранга. Операции над тен-
зорами второго ранга, определяемые как операции над диадами. Вектор,
двойственный антисимметричному тензору второго ранга. Альтернирую-
щий тензор третьего ранга. Изомеры тензоров третьего ранга. Тензоры
четвертого ранга как операторы над пространством тензоров второго ран-
га. Ортогональные проекторы над пространством тензоров второго ранга.
Некоторые тензоры четвертого ранга, играющие особую роль в МСС.
Градиент тензорного поля. Формула для градиента тензорного поля,
зависящего от нескольких скалярных полей. Формула для градиента тен-
зорного поля, зависящего от одного или нескольких векторных полей. Ди-
вергенция и ротор тензорного поля. Теоремы Гаусса – Остроградского и
Стокса. Различные формулы для дивергенции и ротора от всевозможных
произведений тензорных полей. Формулы для дивергенции
и ротора тен-
зорного поля, зависящего от нескольких скалярных полей (криволинейные
координаты). Второй градиент. Дифференциальные операторы второго по-
рядка, алгебраически связанные со вторым градиентом. Лапласиан. Лапла-
сиан в криволинейных координатах. Тензорные функции тензорного аргу-
мента. Дифференцирование по тензорному аргументу. Градиент функции,
зависящей от тензорного поля.
Непрерывные, гладкие и регулярные кривые
. Эквивалентные кри-
вые. Регулярные кривые на плоскости и графики функций. Длина кривой.
Кривые на плоскости. Кривые в трехмерном пространстве. Формулы Фре-
не. Проекции кривой на координатные плоскости сопровождающего репе-
ра. Формулы Френе для кривой в n-мерном пространстве. Задание кривой
ее кривизнами.
Регулярные поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.
Индуцированные квадратичные формы.
Изометричные поверхности. По-
верхности с идентичными квадратичными формами. Касательные векторы.
Первая квадратичная форма как метрическая форма пространства каса-
тельных векторов. Касательная плоскость и вектор нормали. Кривизна
нормального сечения. Вторая квадратичная форма поверхности. Индикат-
риса Дюпена. Главные кривизны. Деривационные формулы Вейнгартена.
Коэффициенты связности. Теорема Гаусса. Необходимые и достаточные
условия изометричности..

Страницы