Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10.3.2 ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
В теории управления в большинстве случаев приходит-
ся иметь дело с неаналитическими, разрывными и неодно-
значными нелинейностями. Для характеристики особенно-
стей подобных нелинейных элементов, как уже отмечалось
выше, рассматривается прохождение через них гармониче-
ского сигнала tAtx
ω
=
sin)( . Если система изменяет частоту
входных колебаний, то она называется частотопреобразующей,
если нет – нечастотопреобразующей. Далее рассматриваются нечастотопреобразующие системы. На выхо-
де безынерционного нелинейного нечастотопреобразующего элемента со статической характеристикой
)(
нэ
xfy = установятся периодические колебания, которые можно представить как сумму гармонических
составляющих с помощью ряда Фурье (рис. 10.11), в состав которого входят гармоники
)sin()(
1011
ϕ
+
ω
=
tCty ;
)3sin()(
3033
ϕ
+
ω
=
tCty и т.д.
Частота
ω
0
называется главной частотой. Если на выходе нелинейного элемента рассматривать
только первую гармонику, а остальные во внимание не принимать, то получим некоторый линеаризо-
ванный элемент. Такую процедуру можно проделать, если будет выполняться гипотеза фильтра.
Выходной сигнал после нелинейного элемента записывается следующим образом:
∑
∞
=
ω+ω+=
1
0нэ
)cossin()(
k
kk
tkbtkaaty ,
где
∫
ωω=
0
0
0
0
)()sin(
2
T
tdtAf
T
a ;
∫
ωωω=
0
0
0
)(sin)sin(
2
T
k
tdtktAf
T
a ;
∫
ωωω=
0
0
0
)(cos)sin(
2
T
k
tdtktAf
T
b .
Согласно гипотезе фильтра все гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду
по сравнению с первой гармоникой и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний
на выходе запишется в виде
tbtaaty ω+ω+≈ cossin)(
110нэ
(10.9)
или
01нэ
)sin()( atCty +
ϕ
+ω≈ ,
где
2
1
2
11
baC += ;
1
1
arctg
a
b
=ϕ
.
Если принимать 0
0
=a , то
)sin()(
1нэ
ϕ
+ω≈ tCty . (10.10)
Таким образом, на вход подали гармонический сигнал и на выходе получили также гармонический
сигнал (10.10). Следовательно, в рассмотрение можно ввести частотные характеристики, аналогичные
частотным характеристикам линейной системы:
– амлитудно-частотная характеристика
A
C
AM
1
нэ
),( =ω ; (10.11)
– фазочастотная характеристика
)(),(),(
выхвыхнэ
ω
ϕ
−ω
ϕ
=ω
ϕ
AA ; (10.12)
– амплитудно-фазовая характеристика
y
нэ
y
3
y
1
x
B
- B
Рис. 10.11 Гармоническая ли-
неаризация

Страницы