Основы теории автоматического управления. Лазарева Т.Я - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ε
η(
ε
)
y
2
G
а)
y
1
η(
ε
)
ε
G
η
1
б) y
2
y
1
Рис. 12.2 Иллюстрация устойчивости:
а – в "малом"; б – в "большом"
Если область G распространяется на все пространство, то равновесие называется устойчивым в "це-
лом".
Для исследования устойчивости в "малом", в "большом" и в "целом" используют специальные методы,
которые рассматриваются ниже.
12.2 Первый метод Ляпунова
Первый метод Ляпунова дает ответ об устойчивости движения по первому приближению с помо-
щью методов, основанных на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного дви-
жения, которым удовлетворяют отклонения возмущенного движения от невозмущенно-
го:
() () ()
tytyty
*
−=∆ , где
()
ty – возмущенное, а
(
)
ty
*
– невозмущенное движения.
Если дифференциальное уравнение движения имеет вид
()
() () ()
()
0,...,, =
′
tytytyF
n
, (12.1)
то для вывода уравнения возмущенного движения необходимо переменную
() ()
(
)
tytyty
*
+∆=
подставить
в (12.1).
Тогда
()
()
()
() () () ()
()
0,...,,,
*1
=+∆
′
∆∆∆
−
tytytytytyF
nn
(12.2)
будет являться уравнением в отклонениях.
Если функция
F
в (12.2) допускает разложение в ряд Тейлора по степеням y∆ , то выполнив это
разложение, получают
()
()
()
(
)
(
)
()
()
()
()
.0,0...,,0,0...,,0
...,0...,,0,0...,,0
**
*
=∆+
′
∆+
++∆+
∆ξ
′
∆
ξ
∆
ξ
tyyFtyyF
tyyFyF
yy
n
y
n
(12.3)
Если отклонения достаточно малы, то, пренебрегая членами в (12.3), зависящими от них в степени
выше первой, учитывая начальные условия и переобозначив
(
)
(
)
tyty
=
, получают линеаризованное
уравнение, которое также называется линеаризованным уравнением первого приближения и записывает-
ся в виде
()
() () ()
0...
01
=+
′
++ tyAtyAtyA
n
n
. (12.4)
Исследование устойчивости движения по уравнению первого приближения объясняется, с одной сто-
роны, простотой подобного подхода, с другой стороны, исследования процессов, происходящих в ре-
альных системах, часто позволяют определить только первые линейные члены.
Но, однако, уравнение первого приближения не всегда позволяет сделать правильный вывод об ус-
тойчивости движения. Условия, позволяющие дать правильные ответы и решить важную и принципи-
альную задачу теории автоматического управления об устойчивости движения были сформулированы
А.М. Ляпуновым и оформлены в виде трех теорем, именуемых первым методом Ляпунова.

Страницы