Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Математическая постановка задачи оптимизации включает в себя целевую функцию f
0
(X), Х = (х
1
, х
2
, ..., х
n
),
представляющую собой количественную оценку качества решения, и допустимое множество
X
d
, представляю-
щее собой множество допустимых вариантов решения. Решением задачи оптимизации является такой вектор
Х
*
∈ Х
d
, который минимизирует или максимизирует целевую функцию f
0
(X). Очевидно, что всякую задачу мак-
симизации
f
0
(X) можно заменить задачей минимизации функции –f
0
(Х), поэтому в дальнейшем будем рассмат-
ривать оптимизационные задачи вида
f
0
(Х) → min при X ∈ X
d
. (2.1)
Если допустимое множество Х
d
лежит в евклидовом пространстве R
n
, то задачи вида (2.1) называют конеч-
номерными оптимизационными задачами, а теорию и методы решения конечномерных задач – математическим
программированием.
Классификацию задач оптимизации можно проводить по нескольким признакам в зависимости от вида
функции
f
0
(X) и допустимого множества X
d
.
2.2. ЗАДАЧИ БЕЗУСЛОВНОЙ И УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Если множество Х
d
совпадает с R
n
, то имеет место задача безусловной оптимизации. В задачах условной
оптимизации множество
Х
d
определяется, как правило, системой линейных и нелинейных ограничений (ра-
венств и неравенств). В этом случае имеет место наиболее общий случай конечномерной оптимизационной за-
дачи, называемой общей задачей математического программирования:
f
0
(X) → min; (2.2)
при условиях
f
i
(X) ≥ 0, i = 1, …, p;
f
i
(X) = 0, i = p + 1, …, m.
В частных случаях задача (2.2) может не содержать ограничений-равенств или ограничений-неравенств.
Геометрическую интерпретацию задач оптимизации и методов нахождения их решений удобно проводить
на примере двумерных задач с отображением целевой функции в виде линий равного уровня (равных
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация задачи условной оптимизации
значений), а множества
Х
d
– в виде соответствующей области на координатной плоскости (рис. 2.1). Пересече-
ние частей плоскости, определяемых неравенствами
f
i
(X) ≥ 0 (заштрихованные части) определяет допустимое
множество
Х
d
. Векторы
∇
f
0
(Х) и – ∇ f
0
(Х) – соответственно градиент и антиградиент функции f
0
(X) в некоторой
точке
X, показывающие направления наискорейшего возрастания и убывания функции в этой точке.
В зависимости от вида функций
f
0
(Х) и f
i
(X) выделяют частные случаи задачи (2.2). Если f
0
(X) и f
i
(X) – ли-
нейные функции, то имеет место задача линейного программирования. Если хотя бы одна из функций
f
0
(X) или
f
i
(X) нелинейна, то задача (2.2) есть задача нелинейного программирования. В том случае, если допустимое
множество
Х
d
конечно или счетно и не имеет предельных точек, то имеет место задача дискретного программи-
рования. Частным случаем последней является задача целочисленного программирования, когда все допусти-
мые точки имеют целочисленные координаты.
Приведенная классификация конечномерных задач оптимизации является наиболее общей. Более подроб-
ную информацию по этому вопросу можно получить, например, из [13].
Для каждого типа конечномерных оптимизационных задач существуют свои численные методы их реше-
ния. Разработанный комплекс лабораторных работ в рамках учебной дисциплины «Оптимизация» предназначен
Х
2
Х
1
f
1
(X) = 0
f
2
(X) = 0
Х
d
– ∇ f
0
(X)
∇
f
0
(X)

Страницы