Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

№
варианта
Целевая функция
и ограничения
№
варианта
Целевая функция
и ограничения
3,6x
1
+ 9,1x
2
≤ 34,2 –3,3x
1
+ 4,4x
2
≤ 5,5
33,3x
1
– 4,4x
2
≤ 785,3
Содержание отчета
1. Задание на выполнение лабораторной работы.
2. Распечатка программы, реализующей метод на ЭВМ, с описанием.
3.
Результаты решения задачи.
4.
Рисунок, иллюстрирующий процесс нахождения решения задачи.
5.
Краткие выводы по работе.
Литература: [15], [16].
3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
Наряду с задачами, в которых необходимо определить максимальные или минимальные значения некото-
рой целевой функции, при проектировании новых объектов нередко возникает необходимость нахождения
функций, доставляющих экстремум целевому функционалу. Такие задачи имеют место, например, при проек-
тировании трубчатых химических реакторов (здесь требуется найти функцию распределения температуры по
длине реактора, максимизирующую производительность), ректификационных колонн, стеклоплавильных печей
и многих других объектов.
Для решения таких задач разработаны многочисленные аналитические и численные методы. Преимущест-
во аналитических методов заключается в получении точного решения, недостаток – узкий класс задач, которые
могут быть решены этими методами. Численными методами (особенно прямыми) могут быть решены многие
задачи, не имеющие аналитического решения.
Простейшая вариационная задача ставится следующим образом.
Пусть функция F(t, x, x′) имеет непрерывные частные производные по всем аргументам до второго порядка
включительно. Среди всех функций x(t), имеющих непрерывную производную и удовлетворяющих граничным
условиям х(t
0
) = x
0
, x(t
1
) = x
1
найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу:
∫
′
=
1
0
.))(),(,()]([
t
t
dttxtxtFtxJ
(3.1)
Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо прежде всего познакомиться с определениями
приращения и вариации функционала.
Приращением функционала называется величина
)],([)]()([ txJtxtxJJ −δ+=∆ (3.2)
где xδ – приращение аргумента функционала.
Согласно определению 1 [18], вариация функционала (3.1) имеет вид
δJ =
∫
′
δ
′
∂
∂
+δ
∂
∂
1
0
)(
t
t
dtx
x
F
x
x
F
. (3.3)
Согласно определению 2 [18], вариацией функционала (3.1) называется значение производной функциона-
ла
])([ xLtxJ δ+
по параметру L, когда L = 0:
0
])([
=
δ+
∂
∂
=δ
L
xLtxJ
L
J . (3.4)
Аналитические методы решения вариационных задач основаны на необходимом условии экстремума
функционала – обращении в нуль вариации функционала. Рассмотрим аналитические методы для простейшей
задачи и более сложных случаев.
Из необходимого условия экстремума функционала выводится следующее утверждение. Для того, чтобы
функционал (3.1) достигал на функции х(t) экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравне-
нию Эйлера:
.0)( =
′
∂
∂
−
∂
∂
x
F
dt
d
x
F
(3.5)
Если требуется отыскать экстремум функционала, зависящего от производных высшего порядка
,))(...,),(),(,()]([
)(
1
0
dttxtxtxtFtxJ
n
t
t
′
=
∫
(3.6)

Страницы