Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а граничные условия имеют вид
,)(...,,)(;)(
;)(...,,)(;)(
)1(
1
1
)1(
1111
)1(
00
)1(
0000
−
−
−
−
=
′
=
′
=
=
′
=
′
=
n
n
n
n
xtxxtxxtx
xtxxtxxtx
то экстремалями функционала (3.6) являются функции, полученные при решении уравнения Эйлера-Пуассона
0)()1(...)()(
)(2
2
=
∂
∂
−+−
′′
∂
∂
+
′
∂
∂
−
∂
∂
nn
n
x
F
dt
d
x
F
dt
d
x
F
dt
d
x
F
n
. (3.7)
Если требуется отыскать экстремум функционала, зависящего от m функций:
dtxxxxxxtFxxxJ
mm
t
t
m
)...,,,,...,,,,(]...,,,[
212121
1
0
′′′
=
∫
(3.8)
при граничных условиях вида
mixtxxtx
iiii
...,,2,1,)(;)(
1100
=
=
= ,
то экстремали функционала (3.8) находятся из системы уравнений Эйлера
mi
x
F
dt
d
x
F
i
i
...,,2,1,0)( ==
′
∂
∂
−
∂
∂
. (3.9)
Если требуется отыскать экстремум функционала
dtxxtFxJ
t
t
),,(][
1
0
′
=
∫
(3.10)
при условиях
∫
=
′
=
1
2
),,(][
t
t
AdtxxtGxK , ,)(
00
xtx =
11
)( xtx
=
(такая задача называется изопериметрической), то
экстремаль функционала (3.10) определяется путем нахождения экстремали функционала вида
,)],,(),,([
1
0
dtxxtGxxtFL
t
t
′
λ+
′
=
∫
(3.11)
где λ – некоторая константа.
Если в оптимизационной вариационной задаче граничные условия заданы не в виде точек, а в виде функ-
ций, такая задача называется задачей с подвижными границами.
Необходимо отыскать экстремум функционала
∫
γ
′
= dtxxtFtxJ ),,()]([
, (3.12)
определенного на гладких кривых x = x(t), концы которых A(t
0
, x
0
) и B(t
1
, x
1
) лежат на кривых: x = ϕ(t) и x =
Ψ(t).
Для решения поставленной задачи составляется и решается уравнение Эйлера, в результате чего находится
семейство экстремалей x = f (t, C
1
, C
2
).
Параметры С
1
и С
2
определяются из уравнений:
f (t
0
, C
1
, C
2
) = ϕ(t
0
); f(t
1
, C
1
, C
2
) = Ψ(t
1
) (3.13)
и из условий трансверсальности:
;0)(
0
=
′
∂
∂
′
−ϕ
′
+
=tt
x
F
xF
0)(
1
=
′
∂
∂
′
−Ψ
′
+
=tt
x
F
xF
. (3.14)
Если задача с подвижными границами ставится для поиска экстремума функционала вида
F [x, у] =
dtyxyxtF ),,,,(
′′
∫
γ
и точка A(t
0
, x
0
, у
0
) закреплена, а другая граничная точка B(t
1
, x
1
, y
1
) может перемещаться по некоторой кривой,
заданной уравнениями x = ϕ(t), у = Ψ(t), то условие трансверсальности в этом случае принимает вид
0])()([
1
=
′
∂
∂
′
−ψ
′
+
′
∂
∂
′
−ϕ
′
+
=tt
y
F
y
x
F
xF
. (3.15)

Страницы