Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Уравнение Эйлера имеет вид –2t – 2x" = 0 или t + x"= 0.
Общее решение уравнения Эйлера есть:
x(t) = –t
2
/6 + С
1
t + C
2
.
Граничные условия дают систему уравнений для определения
С
1
и С
2
:
=+
=+
,6/22
;6/1
21
21
СC
CC
откуда С
1
= 1/6, C
2
= 0. Следовательно, экстремум может достигаться на кривой: x = t(1 – t
2
)/6.
Рассмотрим теперь пример отыскания экстремума функционала, зависящего от производных высшего по-
рядка.
Пусть, например, требуется найти экстремум функционала
.5,2)1(;0)1(;1)0(;0)0(
;))(360()]([
1
0
22
=
′
==
′
=
′′
−=
∫
xxxx
dtxxttxJ
Для получения уравнения Эйлера-Пуассона запишем:
.2;0;360
2
x
x
F
x
F
t
x
F
′′
−=
′′
∂
∂
=
′
∂
∂
=
∂
∂
Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид:
0)"2(360
2
2
2
=−+ x
dt
d
t
или x
(4)
(t) = 180t
2
.
Его общее решение:
x(t) = 0,5 .
43
2
2
3
1
6
CtCtCtCt ++++
Используя граничные условия, получим:
C
1
= 3/2; C
2
= –3; C
3
= 1; C
4
= 0; искомая экстремаль: x(t) = t
6
/2 +
3
t
3
/2 – 3t
2
+ 1.
Рассмотрим далее пример отыскания экстремума функционала, зависящего от
m функций.
Пусть, например, требуется отыскать экстремум функционала
∫
′
++
′
=
2
1
222
))()(()](),([ dtyyxtytxJ
при граничных условиях x(1) = 1; x(2) = 2; у(1) = 0; у(2) = 1. Здесь F(t, x, x', у, у') = (x')
2
+ у
2
+ (у')
2
.
Для получения системы уравнений Эйлера запишем:
.2;2;2
;2;2;0
y
y
F
dt
d
y
y
F
y
y
F
x
x
F
dt
d
x
x
F
x
F
′′
=
′
∂
∂
′
=
′
∂
∂
=
∂
∂
′′
=
′
∂
∂
′
=
′
∂
∂
=
∂
∂
Система уравнений Эйлера имеет вид:
=
′′
−
=
′′
−
022
;02
yy
x
или
=
′′
−
=
′′
.0
;0
yy
x
Решая эту систему, находим:
x = C
1
t + C
2
; у = С
3
е
t
+ C
4
е
–t
.
Используя граничные условия, получим:
С
1
= 1; С
2
= 0; С
3
= 1/(е
2
– 1); С
4
= е
2
/(е
2
– 1).
Искомые экстремали: x = t; у = sh(t – 1)/sh 1, где sh – гиперболический синус.
Рассмотрим теперь пример изопериметрической задачи.
Пусть, например, необходимо отыскать экстремум функционала
∫
−
==−=
a
a
axaxdttxtxJ 0)()(,)()]([
при дополнительном условии, что
K[x(t)] = .2,)(1
2
aAAdtx
a
a
>=
′
+
∫
−

Страницы