Получение оптимальных проектных решений и их анализ с использованием математических моделей. Литовка Ю.В. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Cоставляем вспомогательную функцию H = F + λG = x +
2
)(1 x
′
+λ и рассматриваем вспомогательный
функционал
∫
−
′
=
a
a
dtxxtHL ,),,(
уравнение Эйлера для которого имеет вид ,1
(1
2
)
=
′
+
′
λ
x
x
dt
d
откуда
.
)(1
1
2
Ct
x
x
+=
′
+
′
λ
Разрешая последнее уравнение относительно
x', находим:
22
)(
1
1
Ct
Ct
dt
dx
++λ
+
=
.
Интегрируя полученное уравнение, имеем (
t + C
1
)
2
+ (x + C
2
)
2
= λ
2
.
Постоянные
С
1
, С
2
и параметр λ определим из граничных условий и изопериметрического уравнения.
Имеем:
С
2
2
= λ
2
– (С
1
– а)
2
; С
2
2
= λ
2
–
– (С
1
+ а)
2
, откуда С
1
= 0, С
2
= а−λ
2
, так что x = ,
2222
at −λ−−λ
./
22
ttx −λ−=
′
Тогда изопериметрическое условие дает:
)/arcsin(2/arcsin/
22
λλ=
−=
=
λλ=−λλ=
∫
−
a
at
at
ttdtA
a
a
или а/λ = sin(A/2λ), откуда находим λ.
Рассмотрим далее пример решения задачи с подвижными границами. Пусть, например, требуется найти
расстояние между параболой
x = t
2
и прямой t – x = 5. Элементарное ∆s расстояние между двумя точками на
плоскости, координаты которых отличаются на
dt и dx, равно:
22
dtdxS +=∆
.
Выполним некоторые преобразования:
dtxdt
dt
dx
dt
dt
dx
dtS
222
)(11
2
2
2
2
′
+=+=+=∆
.
Расстояние между двумя точками на плоскости выразится интегралом
.)(1
2
1
0
dtxS
t
t
′
+=
∫
(3.18)
Задача сводится к нахождению экстремального значения интеграла (3.18) при условии, что левый конец
экстремали может перемещаться по кривой x = t
2
, а правый – по прямой x = t – 5. Таким образом, в нашем слу-
чае имеем
ϕ(t) = t
2
; Ψ(t) = t – 5.
Для составления уравнения Эйлера запишем:
.
)(1
)(1)(1
;)(1//;0/
2
222
2
/)(
x
xxxxx
x
F
dt
d
xxxFxF
′
+
′
+
′′′
−
′
+
′′
=
′
∂
∂
′
+
′
=
′
∂∂=∂∂
Уравнение Эйлера имеет вид x'' = 0.
Общее решение уравнения Эйлера: x = C
1
t + C
2
.
Условия трансверсальности имеют вид:
.0
)(1
)1()(1
;0
)(1
)2()(1
1
2
0
2
2
2
=
=
′
+
′
′
−+
′
+
=
=
′
+
′
′
−+
′
+
tt
x
x
xx
tt
x
x
xtx
Так как из (3.19) x' = C
1
, получим:
.0)1(1
;0)2(1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
10
2
1
=−++
=−++
+
+
С
С
C
C
СС
CtС

Страницы