Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР
115
(
)
(
)
{}
1max
1,1
1
=Þ=×=
*
-Î
IUVUUI
V
, (8)
(
)
(
)
{}
1min
1,1
2
-=Þ-=×=
*
-Î
IVVUVI
U
. (9)
Из равенств (8) и (9) следует, что 11 =<=-
*
*
II
5.2. Седловая точка игры. Цена игры. Подойдем к вопросу об
оптимальности поведения игроков в антагонистической игре с несколько иной
стороны. Естественно считать оптимальной такую ситуацию, от которой
невыгодно отклоняться ни для одного игрока.
Определение 5. Ситуация
(
)
{
}
WVUW Î=
***
, называется приемлемой для
первого (второго) игрока если
(
)
(
)
{
}
UUVUIVUI Î"³
***
,,, , (
(
)
(
)
{
}
VVVUVUI Î"£
***
,,, ).
Определение 6. Ситуация
(
)
{
}
WVUW Î=
***
, называется равновесной, или
ситуацией равновесия, если она приемлема для каждого из игроков.
Из определения ситуации равновесия следует, что она удовлетворяет
двойному неравенству
(
)
(
)
(
)
{
}
{
}
,,,,,
IUVIUVIUVUUVV
****
££"Î"Î
. (1)
Таким образом, равновесная ситуация является седловой точкой функции
платы. Двойное неравенство (1) имеет простой физический смысл: единоличное
отклонение игрока от равновесной ситуации не приводит к улучшению его
выигрыша.
Множество всех ситуаций равновесия в игре обозначим символом
E
(
{
WÌE
). Следующая теорема выражает свойство равноценности ситуаций
равновесия в антагонистических играх.
Теорема 2. Пусть
(
)
(
)
EÎ=EÎ=
***
VUWVUW
~
,
~
~
,, . Тогда
(
)
(
)
VUIVUI
~
,
~
, =
**
и
(
)
(
)
EÎ=EÎ
**
VUWVU ,
~
~
,
~
, .
Доказательство. Из двойного неравенства (10) и условий теоремы
следует 
5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР


                                  I (1 ) (U ) = max U × V = U Þ I * = 1 ,                        (8)
                                               V Î{-1,1}


                                I (2 ) (V ) = min U × V = - V Þ I * = -1 .                       (9)
                                            U Î{-1,1}


Из равенств (8) и (9) следует, что - 1 = I * < I * = 1
      5.2. Седловая точка игры. Цена игры. Подойдем к вопросу об
оптимальности поведения игроков в антагонистической игре с несколько иной
стороны. Естественно считать оптимальной такую ситуацию, от которой
невыгодно отклоняться ни для одного игрока.
     Определение 5. Ситуация W* = (U * ,V* )Î {W } называется приемлемой для
первого (второго) игрока если
               I (U ,V* ) ³ I (U * ,V* ) , "U Î {U }, ( I (U * ,V ) £ (U * ,V* ) , "V Î {V }).

     Определение 6. Ситуация W* = (U * ,V* )Î {W } называется равновесной, или
ситуацией равновесия, если она приемлема для каждого из игроков.
     Из определения ситуации равновесия следует, что она удовлетворяет
двойному неравенству
                       I (U* ,V ) £ I (U * ,V* ) £ I (U ,V* ) , "U Î {U } , "V Î {V } .          (1)

Таким образом, равновесная ситуация является седловой точкой функции
платы. Двойное неравенство (1) имеет простой физический смысл: единоличное
отклонение игрока от равновесной ситуации не приводит к улучшению его
выигрыша.
     Множество всех ситуаций равновесия в игре обозначим символом E
( E Ì {W }). Следующая теорема выражает свойство равноценности ситуаций
равновесия в антагонистических играх.
     Теорема 2. Пусть W* = (U * ,V* ) Î E, W = (U ,V )Î E . Тогда
                                                           ~     ~ ~

                                                             ~ ~
                                            I (U * ,V* ) = I U ,V(       )
и
                                     (U ,V~ )Î E, W~ = (U~,V )Î E .
                                        *                            *


     Доказательство. Из двойного неравенства (10) и условий теоремы
следует


                                                           115

Страницы