Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Cttm
p
+
−
=
τ
−
)ln(
ж
,
где ))/((
cp
VpFm α= – коэффициент пропорциональности, называемый темпом охлаждения (или темпом нагревания, когда t
ж
> t); C – некоторая произвольная постоянная, определить которую можно из условий однозначности.
Потенцируем полученную формулу
С
m
ette
p
)(
ж
−=
τ−
и представляем результат в виде
τ−
+=
p
m
Aett
ж
.
Здесь величина )exp( CA −= представляет собою тоже некоторую константу. Полученная формула описывает основную
особенность регулярного режима: с течением времени температура в любой точке тела изменяется по закону экспоненты. В
различных точках различны только константы
A.
Для тел простой формы сопоставлением приведенной формулы и результатов аналитического решения для
характерных точек определены формулы, позволяющие рассчитать темп охлаждения
m
p
для любого случая, т.е. и тогда,
когда температуропроводность тела невелика и процесс теплопроводности сопровождается сложным распределением
температуры в теле.
Выявленная особенность регулярного режима лежит в основе многих экспериментальных методов определения
коэффициентов теплопроводности и температуропроводности, когда по экспериментальной термограмме находят темп
охлаждения
m
p
, и по его величине – значения коэффициентов λ и α.
2.2.14 Общее решение дифференциального уравнения
теплопроводности
И
з всего множества методов решения задач теплопроводности рассмотрим подробнее метод непосредственного
интегрирования путем разделения переменных (метод Фурье). При этом ради упрощения ограничимся анализом
одномерного нестационарного температурного поля, для которого дифференциальное уравнение теплопроводности
запишется в виде
.
2
2
x
t
a
t
∂
∂
=
τ∂
∂
(2.26)
Решение
t = (x, τ) будем искать в виде произведения двух функций ϕ и ψ, причем первая из них зависит только от τ, а вторая –
только от
x:
.)()( xt ψ
τ
ϕ
=
(2.27)
Продифференцируем формулу (2.27), определив производные
τ
∂
∂
/t и
22
dxtd /
;ψ
τ∂
ϕ∂
=
τ∂
∂t
;ϕ
∂
ψ
∂
=
∂
∂
x
x
t
ϕ
∂
ψ∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
x
x
t
x
x
t
и подставим полученные значения в уравнение (2.26):
ϕ
∂
ψ∂
=ψ
τ∂
ϕ∂
2
2
x
a
или
.
2
2
111
x
a
∂
ψ∂
ψ
=
τ∂
ϕ∂
ϕ
(2.28)
Теперь левая часть приведенной формулы зависит только от τ, а правая – только от x. Для некоторого фиксированного
момента времени
τ величины ϕ и
τ∂ϕ∂ /
принимают некоторые численные значения и левая часть формулы (2.28)
превращается в константу (ее называют константой разделения). Чтобы решение было не нулевым и по мере увеличения
τ
величина
t не увеличивалась бы бесконечно, а стремилась к некоторому постоянному значению, величина константы
разделения должна быть отрицательной. Обозначим ее через –
k . Естественно, что и правая часть формулы (2.28) равна – k.
С учетом изложенного уравнение (2.28) можно заменить теперь системой из двух обыкновенных дифференциальных
уравнений:
ϕ−=
τ∂
ϕ
∂
2
ak ; (2.29)
.
2
2
2
k
dx
d
ψ−=
ψ
(2.30)
Интегрирование этих уравнений несложно. Для этого в уравнении (2.29) сначала разнесем переменные:
.τ−=
ϕ
ϕ
dak
d
2
Тогда после интегрирования получаем
Cak +τ−=ϕ
2
ln ,

Страницы