Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

релаксаций. Суть этого метода в следующем. Сначала в узлах сетки записывают ожидаемые, интуитивно выбранные
значения температур. Конечно они не будут удовлетворять уравнению (2.24) и вместо равенства нулю в каждом узле сетки
мы будем получать некоторый остаток
R
o
:
jijijijiji
tttttR
,,,,,о
4
1111
−+++=
−+−+
.
Величина R
o
говорит о том, насколько правильно были выбраны значения температур в окрестностях каждого узла в первом
приближении.
Найдем значения
R
o
для всех узлов. Там, где величина R
o
окажется наибольшей, температуры были выбраны наименее
удачно и именно для этого узла надо их скорректировать. Для этого наибольшее значение
R
o
делим на четыре части и
результат добавляем к остаткам четырех соседних узлов. После этого остаток в рассматриваемом узле станет равен нулю, но
изменятся остатки соседних узлов. Вновь просматривая все остатки, снова выбираем узел, где остаток наибольший и повторяем
процедуру сглаживания остатков в этом узле. Повторяя такое сглаживание до тех пор, пока все остатки не станут равными
нулю (точнее – некоторой относительно небольшой величине), приходим к решению задачи.
Модификацией этого метода, наиболее удобной для реализации на ЭВМ, является метод Зейделя, где выравнивание
остатков ведется не для узлов с наибольшим
R
о
, а поочередно, от первого к последнему. При этом для расчета температуры в
последующем приближении используют значение температуры в том же узле, но рассчитанное в предыдущем приближении.
Более подробно описание этого метода приведено в [20].
2.2.13 Процессы нестационарной теплопроводности
Все подчиняется времени, однако
время не подчиняется никому
.
М
. Арсанис
Р
анее уже было отмечено широкое распространение нестационарных процессов и
важность их для практики. В отличие от предыдущих задач, здесь фактор времени
является одним из определяющих и часто задача состоит в том, чтобы определить,
как изменяется температура в той или иной точке тела с течением времени, сколько
при этом передавалось тепла. Несмотря на множество методов и подходов,
разработанных для решения нестационарных задач (см. [21], [22]), аналитические
решения получены только для тел простой формы и для простейших ГУ. Очень часто
такие решения содержат табулированные корни отдельных трансцендентных
уравнений или значения специальных функций.
Чтобы познакомиться с некоторыми качественными особенностями
нестационарных процессов, рассмотрим термограммы (так называют зависимости
t = f
(τ)) для двух точек равномерно прогретого тела, которое быстро погружают в более
холодную жидкую или газообразную среду. Такие термограммы приведены на рис. 2.22.
В начальный момент времени температура на поверхности тела
t
п
и в его центре t
ц
одинаковы. С началом процесса эти температуры изменяются по-разному, темп их
уменьшения различен и по мере охлаждения уменьшается. Постепенно обе температуры
выравниваются, приближаясь к
t
ж
, и теплообмен прекращается. Интересно, что по мере
удаления от поверхности изменение температуры все более отстает от изменения
температуры на поверхности. Величина такой задержки различна на различных этапах
процесса и зависит от коэффициента температуропроводности, расстояния от
поверхности и ГУ. Наибольшая задержка – в центре тела.
Естественно, что тепловые потоки в теле, в частности через его поверхность, не остаются постоянными, а меняются в
течение процесса, как показано это на рис. 2.23. Количество тепла
Q
*
, отдаваемое телом до момента времени τ определится
величиной интеграла
∫
τ
τ=
0
dQQ
п
*
, равной величине заштрихованной площади.
Изучение термограмм различных процессов показало, что на первой стадии ход изменения температуры существенно
зависит от первоначального распределения температуры в теле. Однако с течением времени процесс переходит в другую
стадию, когда первоначальная неравномерность температурного поля успевает сгладиться и перестает влиять на характер
изменения температуры. Эту вторую стадию называют регулярным режимом, а первоначальную стадию, длительность
которой составляет примерно 0,1 … 0,3 всей продолжительности процесса, называют нерегулярным режимом.
Чтобы выявить основную особенность регулярного режима, будем считать, что тело настолько теплопроводно, что
распределение температуры в нем практически равномерно и изменяется она только по времени и за время
dτ температура
тела изменяется на величину –
dt.
Запишем теплобалансовое уравнение, учитывая, что все передаваемое телом тепло отдается теплоносителю в
результате уменьшения теплосодержания этого тела:
.)(
ж
dtcVdFtt ρ−=τ
−
α
(2.25)
Здесь α – коэффициент теплоотдачи на поверхности исследуемого тела; F, V – поверхность и объем; ρ, c – плотность и
удельная теплоемкость тела. Заметив, что
dt = d (t – t
ж
), формулу (2.25) перепишем по другому
.
)(
ж
ж
tt
ttd
d
Vpc
F
−
−
=τ
α
−
В результате получено простое дифференциальное уравнение, интегрирование которого дает:
t
п
t
ц
t
ж
τ
к
τ
0
τ
t
Рис. 2.22 Термограммы
охлаждения тела
Q
п
τ
0
1
τ
τ
Рис. 2.23 Тепловой поток
через поверхность тела

Страницы