Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.2.7 Стационарная теплопроводность
цилиндрической стенки при ГУ-1
Ц
илиндрические стенки встречаются на практике почти так же часто, как и плоские. Будем рассматривать неограниченные по
длине стенки, у которых теплообменом с торцевых поверхностей можно пренебрегать и считать, что весь тепловой поток
передается по направлениям, перпендикулярным оси цилиндра. С достаточной точностью к неограниченным можно
относить любые стенки, длина которых хотя бы в 10 раз больше диаметра. При этом изотермические поверхности
представляют собою концентрические цилиндры, а в сечении, перпендикулярном оси этих цилиндров, изотермы имеют вид
концентрических окружностей, как показано это на рис. 2.13. В декартовых координатах температурное поле является
плоским
t = f (х, у). Однако с переходом к цилиндрической системе координат в силу симметрии обнаруживается, что
температура в любом месте стенки зависит лишь от одного параметра – радиуса
r,
определяющего положение этой точки на той или иной изотерме, т.е. задача становится
одномерной:
t = f (r).
Чтобы показать многообразие подходов при решении задач теплопроводности, отходя
от общего подхода, покажем, что для тел простой формы задачу можно решить и без
привлечения дифференциального уравнения теплопроводности.
Выделим внутри стенки на расстоянии
r от оси элементарно тонкий слой толщиной
dr (см. рис. 2.14) и в соответствии с законом Фу-
рье запишем формулу, определяющую величину передаваемого через этот слой теплового
потока:
Q = Fq = 2πrl [–λ(dt/dr)]. (2.18)
У неограниченной стенки весь этот поток Q проходит целиком через любую
изотермическую поверхность, т.е. не зависит от величины
r. Формула (2.18) представляет собою обыкновенное
дифференциальное уравнение, описывающее связь между
Q, r и t. Разнесем переменные и проинтегрируем затем правую и
левую части полученного уравнения в пределах, соответствующих граничным условиям:
при
r = r
1
t = t
c1
и при r = r
2
t = t
c2
:
∫∫
πλ−=
2
1
2
1
2
r
r
t
t
c
c
dtl
r
dr
Q .
После интегрирования (с учетом, что Q = const) получаем
Q ln (r
2
/r
1
) = –2πλl (t
c2
– t
c1
),
откуда находим
.
ln
)(
c2c1
l
d
d
tt
Q
1
2
2
1
λ
−
π
=
Чтобы определить вид температурного поля, повторим такое же интегрирование, но до некоторых текущих значений r и
t верхних пределов
.
∫∫
πλ−=
r
r
t
t
c
dtl
r
dr
Q
11
2
Тогда получим
Q ln (r/r
1
) = –2πλl (t – t
c1
),
откуда выражаем значение t :
=
t
l
rr
l
d
d
tt
t
l
rrQ
t
πλ
λ
−
π
−=
πλ
−
2
2
1
2
1
1
2
1
)/(ln
ln
)(
)/(ln
c2c1
c1c1
1
1
2
r
r
d
d
tt
t
ln
ln
c2c1
c1
−
−= .
Отметим, что удельные тепловые потоки на внутренней и на наружной поверхностях различны, поскольку различна
величина этих поверх- ностей:
lr
Q
F
Q
q
11
2π
==
вн
и
lr
Q
F
Q
q
22
2π
==
нар
и это неудобно для практических расчетов. Поэтому вводится понятие о линейной плотности теплового потока q
l
:
q
l
= Q / l,
величина которой не зависит от радиуса. Связь между q
нар
, q
вн
и q
l
определяется из равенства
q
вн
F
1
= q
нар
F
2
= q
l
1,
откуда получаем
q
l
= q
вн
F
1
/ l = q
нар
F
2
/ l = π d
1
q
вн
= π d
2
q
нар
.
2.2.8 Теплопередача через цилиндрическую стенку
П
ри теплопередаче с обоих сторон стенки имеют место ГУ-3. Для неограниченных стенок (l >> 10d) теплообменом с торцевых
ϕ
x
y
r
Рис. 2.13 Температурное
поле цилиндрической
стенки

Страницы