Теоретические основы теплотехники - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

поверхности среды – t
c3
. Обе эти температуры неизвестны, и определив их, мы
сведем задачу к рассмотренным ранее.
Чтобы найти эти температуры, запишем
q
ст
= q
с
= (q
ср
)
x = δ
или
(t
с1
– t
с2
) / (δ/λ) = (t
с2
– t
c3
) /R
к
= –λ
c
(dt
c
/dx)
x = δ
.
Обозначив
–λ
c
(dt
c
/dx)
x = δ
= A,
легко находим
t
c2
= t
c1
+ A /(δ/λ) и t
c3
= t
c2
+ AR
к
.
2.2.7 Стационарная теплопроводность
цилиндрической стенки при ГУ-1
Ц
илиндрические стенки встречаются на практике почти так же часто, как и плоские. Будем рассматри-
вать неограниченные по длине стенки, у которых теплообменом с торцевых поверхностей можно пре-
небрегать и считать, что весь тепловой поток передается по направлениям, перпендикулярным оси ци-
линдра. С достаточной точностью к неограниченным можно относить любые стенки, длина которых хо-
тя бы в 10 раз больше диаметра. При этом изотермические поверхности представляют собою концен-
трические цилиндры, а в сечении, перпендикулярном оси этих цилиндров, изотермы имеют вид концен-
трических окружностей, как показано это на рис. 2.13. В декартовых коор-
динатах температурное поле является плоским t = f (х, у). Однако с перехо-
дом к цилиндрической системе координат в силу симметрии обнаруживает-
ся, что температура в любом месте стенки зависит лишь от одного парамет-
ра – радиуса r, определяющего положение этой точки на той или иной изо-
терме, т.е. задача становится одномерной: t = f (r).
Чтобы показать многообразие подходов при решении задач теплопро-
водности, отходя от общего подхода, покажем, что для тел простой формы
задачу можно решить и без привлечения дифференциального уравнения те-
плопроводности.
Выделим внутри стенки на расстоянии r от оси элементарно тонкий
слой толщиной dr (см. рис. 2.14) и в соответствии с законом Фу-
рье запишем формулу, определяющую величину передаваемого через этот слой теплового потока:
Q = Fq = 2πrl [–λ(dt/dr)]. (2.18)
У неограниченной стенки весь этот поток Q проходит целиком через любую изотермическую по-
верхность, т.е. не зависит от величины r. Формула (2.18) представляет собою обыкновенное дифферен-
циальное уравнение, описывающее связь между Q, r и t. Разнесем переменные и проинтегрируем затем
правую и левую части полученного уравнения в пределах, соответствующих граничным условиям:
при r = r
1
t = t
c1
и при r = r
2
t = t
c2
:
∫∫
πλ−=
2
1
2
1
2
r
r
t
t
c
c
dtl
r
dr
Q .
После интегрирования (с учетом, что Q = const) получаем
Q ln (r
2
/r
1
) = –2πλl (t
c2
– t
c1
),
откуда находим
стенка
t
c1
t
c2
q
δ
x
t
среда
t
c3
Рис. 2.12 ГУ-1 +
ГУ
4
ϕ
x
y
r

Страницы