Математическая культура. Мациевский С.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

38
п. 4. Математическое ожидание
1. Матожидание. Обычно редукция к распределению случайной вели-
чины все равно недостаточна: множество значений случайной величины
{
a
1
, a
2
, …} бывает слишком большим (и даже бесконечным!), чтобы опре-
делить из опыта соответствующие им вероятности
p
i
.
Опишем распределение
одним экспериментальным параметром.
Пусть дана случайная величина
ξ(ω). Тогда, если ряд
ω
∈Ω
∑
ξ(ω)P(ω) схо-
дится абсолютно
, что означает, что значение его суммы не зависит от по-
рядка слагаемых, то его сумма
Mξ = μ = Σξ(ω)P(ω) называется матема-
тическим ожиданием, или средним значением
случайной величины ξ.
Если же сходимость неабсолютная, т.е.
условная, то случайная величина
не имеет матожидания. Можно доказать, что
Mξ = Σa
i
p
i
.
Примеры.
1. Найти матожидание числа выпавших гербов для 2 монет. См. приме-
ры в §3. Получаем:
Mξ = Σa
i
p
i
= 0×1/4 + 1×2/4 + 2×1/4 = 1.
2. В США вероятность 25-летнему человеку прожить 1 год составляет
0,992. Страховая компания страхует жизнь такого человека на год на сум-
му 1000, страховой взнос — 10. Какую прибыль ожидает получить
компания? Величина прибыли есть случайная величина
ξ со значениями
+10 (если застрахованный не умрет) и –990 (если умрет). Имеем рас-
пределение
+10 – 990
0,992 0,008
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
, т.е. Mξ = 10·0,992 – 990·0,008 = 2().
Упр. 4. Найти матожидания: 1) числа выпавших гербов для 3 монет;
2) числа выпавших очков игральной кости.
2. Закон больших чисел. Продуктивно рассматривать не одно событие
или случайную величину, а много. Случайные величины возникают в при-
ложениях как результаты измерений, причем либо сами измерения под-
вержены случайным ошибкам, либо объекты измерения выбираются слу-
чайным образом. Тем не менее справедливо правило: даже когда результа-
ты отдельных измерений
ξ
1
, ξ
2
, …, ξ
n
сильно колеблются, их средние
арифметические (
ξ
1
+ ξ
2
+ … + ξ
n
)/n очень устойчивы.
Пример. В литературе можно найти сведения, что при бросании монеты
герб выпадал следующие количества раз: 1) в десяти сериях по 1000 бро-
саний — 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529; 2) в серии 24 000
раз — 12 012; 3) в серии 4040 раз — 2048. Следовательно, частоты выпаде-
ний герба группируются около 0,5, хотя и не равны никогда этому числу.
В математике это явление устойчивости средних и
отражает закон
больших чисел
. 
                   п. 4. Математическое ожидание
   1. Матожидание. Обычно редукция к распределению случайной вели-
чины все равно недостаточна: множество значений случайной величины
{a1, a2, } бывает слишком большим (и даже бесконечным!), чтобы опре-
делить из опыта соответствующие им вероятности pi.
   Опишем распределение одним экспериментальным параметром.
   Пусть дана случайная величина ξ(ω). Тогда, если ряд ∑ ξ(ω)P(ω) схо-
                                                              ω∈Ω
 дится абсолютно, что означает, что значение его суммы не зависит от по-
рядка слагаемых, то его сумма Mξ = μ = Σξ(ω)P(ω) называется матема-
 тическим ожиданием, или средним значением случайной величины ξ.
 Если же сходимость неабсолютная, т.е. условная, то случайная величина
 не имеет матожидания. Можно доказать, что Mξ = Σaipi.
     Примеры.
     1. Найти матожидание числа выпавших гербов для 2 монет. См. приме-
ры в §3. Получаем: Mξ = Σaipi = 0×1/4 + 1×2/4 + 2×1/4 = 1.
     2. В США вероятность 25-летнему человеку прожить 1 год составляет
0,992. Страховая компания страхует жизнь такого человека на год на сум-
му � 1000, страховой взнос — � 10. Какую прибыль ожидает получить
компания? Величина прибыли есть случайная величина ξ со значениями
� +10 (если застрахованный не умрет) и � –990 (если умрет). Имеем рас-
пределение    ⎝ 0,992 0,008⎠
                                                                �
             ⎛⎜ +10 – 990⎞⎟ , т.е. Mξ = 10·0,992 – 990·0,008 = 2( ).

    Упр. 4. Найти матожидания: 1) числа выпавших гербов для 3 монет;
2) числа выпавших очков игральной кости.
    2. Закон больших чисел. Продуктивно рассматривать не одно событие
или случайную величину, а много. Случайные величины возникают в при-
ложениях как результаты измерений, причем либо сами измерения под-
вержены случайным ошибкам, либо объекты измерения выбираются слу-
чайным образом. Тем не менее справедливо правило: даже когда результа-
ты отдельных измерений ξ1, ξ2, , ξn сильно колеблются, их средние
арифметические (ξ1 + ξ2 + + ξn)/n очень устойчивы.
    Пример. В литературе можно найти сведения, что при бросании монеты
герб выпадал следующие количества раз: 1) в десяти сериях по 1000 бро-
саний — 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529; 2) в серии 24 000
раз — 12 012; 3) в серии 4040 раз — 2048. Следовательно, частоты выпаде-
ний герба группируются около 0,5, хотя и не равны никогда этому числу.
    В математике это явление устойчивости средних и отражает закон
больших чисел.

                                       38

Страницы