Математическая культура. Мациевский С.В. - 38 стр.

                           п. 3. Случайная величина
    1. Определение. Рассмотрим дискретное пространство элементарных
событий Ω, элементам которого ω ∈ Ω отвечает вероятность P(ω). Слу-
чайной величиной ξ называется функция ξ(ω), определенная на множестве
Ω и принимающая вещественные значения.
    Среди возможных значений ξ(ω), отвечающим
различным ω ∈ Ω, не обязательно все различны.           ω1 ω2    ω3 ω4
Обозначим различные возможные значения ξ через
а1, а2, (эти вещественные числа аi не обязательно                      ξ
расположены в порядке возрастания или убывания).         а1      а2
    Пример. Бросаются две монеты. Сколько из них выпадет гербом квер-
ху? Ответ — число, определяемое исходом эксперимента: 0, 1, 2. Про-
странство элементарных событий Ω = {ω1=гг, ω2=гр, ω3=рг, ω4=рр}.
   Имеем случайную величину ξ = ⎛⎜ ω1 ω 2 ω 3 ω 4⎞⎟ .                   {ξ = a1}      {ξ = a2}
                                 ⎝ 2 1 1 0⎠
    Упр. 2. Написать случайную величину для 3 монет.
    2.Распределение случайной величины. Обозначим ω1 ω2                              ω3 ω4
{ξ = ai} ≡ {ω: ω ∈ Ω, ξ(ω) = ai}. Очевидно, что {ξ = ai} есть
подмножество множества Ω, т.е. событие. Обозначим а1                                 а2          ξ
через pi вероятность этого события {ξ = ai}:
   pi = P{ξ = ai} =       ∑           P(ω). Таблица вида ⎛⎜ a1 a 2 ...⎞⎟ , где в верхней
                                                             ⎝ p1 p 2 ...⎠
                      ω:ξ (ω ) = ai
строчке стоят возможные значения случайной величины ξ, а в нижней
строчке под каждым значением стоит вероятность pi = P{ξ = ai} того, что
случайная величина ξ принимает это значение, называется распределени-
ем, или таблицей вероятностей, или функцией вероятностей, случай-
ной величины ξ.
   Пример. Найти распределение числа выпавших гербов для 2 монет.
   Решение. См. пример п.1. Пространство Ω состоит из 4 событий;
                                                               ⎛ 0      1    2 ⎞
для ∀ω имеем: P(ω) = 1/4. Искомое распределение: ⎜                              ⎟.
                                                               ⎝ 1/ 4 2 / 4 1/ 4⎠
    Упр. 3. Найти распределение числа выпавших гербов для 3 монет.
    В приложениях теории вероятностей обычно имеют дело с распределе-
ниями случайных величин. Например, при бросании пяти монет проще за-
регистрировать ξ(ω), а не элементарные события ω. Следовательно, реги-
стрируются значения функции, но не значения аргумента. Необычайно су-
щественно то, что при разных ω случайная величина ξ(ω) может прини-
мать одинаковое значение: множество {a1, a2, } значений случайной ве-
личины гораздо проще, чем все множество Ω. Поэтому может получиться
так, что невозможно узнать вероятности P(ω), но можно определить по
частотам вероятности pi = P{ξ = ai}.

                                               37